Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Подставляя в тождество (12.10) выражения (16.38),
(13.55) для величи рл, МА, M At и Mat отвечающих рассматриваемой модели смеси газов и электромагнитного поля, получим равенство
256
СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД
1ГЛ. 5
Последнее слагаемое в его левой части преобразуем при помощи второго соотношения (13.60). Слагаемые же, содержащие величины Ф,а, 1Pia, преобразуем при помощи равенств, получающихся из первого соотношения (13.60) путем замены величин сра, Фа соответственно на ер?, Фіа и на yVia- Учитывая затем параметрические представления для локальной скорости изменения энтропии і-й компоненты смеси и для компонент 4-векторов плотности внутреннего потока энтропии і-й компоненты смеси и плотности диффузионного потока частиц і-го сорта1), а также выражение (4.49) для локальной скорости г-й реакции со, и выражение (3.36) для компонент 4-тензора скоростей деформаций еар, преобразуем равенство (16.45) к окончательному виду
N R
2 (TiOi + ViaSf + %aIf) - Z x^r- = 0. (16.46)
Это соотношение представляет собой тождество, которому должны удовлетворять коэффициенты Tit Фіа, xViat Xrt Tap, стоящие при вариациях в функционале bW* для модели смеси разнотемпературных, теплопроводных, диффундирующих, реагирующих, вязких газов.
Необратимые процессы. Для завершения построения рассматриваемой модели требуется задать законы, определяющие коэффициенты при вариациях в функционале 6W* независимо от динамических уравнений. При этом должно выполняться тождество (16.46), которое можно записать следующим образом:
*) Имеются в виду равенства, получающиеся из соотношений
(6.29), (6.28) при замене в них величин о, <р, Sal <ра на а*, ф/, Sf9
Ф®, а также формулы (4.33) для /?в
N
+ 2 Юг-у1+***?¦, (16.47)
СМЕСЬ ГАЗОВ
257
где1)
O=Y1Oi, Oi = CiO-Oh T=YiCiTi, Ci=^i-. (16.48)
і= і (=i Zjn'
І
Из определения величин о'{ следует, что они связаны между собой соотношением
2J CTt- = 0. (16.49)
і= 1
Рассматривая величины T~lTiy —T-1Oiay —T-1Wiay T-1Xry Т~хеар как обобщенные термодинамические силы X3, а величины а'ь Sfy Ify gv, таР — как сопряженные им обобщенные потоки Jsy легко видеть, что выражение (16.47) для диссипативной функции о имеет вид (12.11). Как и в предыдущих параграфах, применяя общие линейные законы (12.21), для необратимых процессов, близких к обратимым, получим кинетические уравнения, которые можно использовать для определения величин Tiy Фіа, Wiay Xry Tap. Входящие в эти уравнения коэффициенты Zj, вообще говоря, являются тензорными функциями от определяющих параметров, их производных и известных параметров X5(Ia) (например, от величин vaP, иа, Fa^y niy Ti = = Oefdsi) и задаются на основании дополнительных теоретических гипотез и экспериментальных данных. Указанные коэффициенты должны удовлетворять соотношениям, обеспечивающим неотрицательность диссипативной функции а, а также равенствам, вытекающим из тождеств (16.49), (16.3) и последних двух условий (16.15). Обобщенные термодинамические силы — Т~гФіау — T1Wiay еа$ связаны между собой первыми двумя соотношениями (16.15) и последними двумя условиями (13.64). Поэтому коэффициенты Lb определяются неоднозначно. При этом, как доказывается в термодинамике необратимых процессов [9—14], коэффициенты Lb можно выбрать так, что будут выполняться соотношения Онсагера — Казимира (12.23).
Рассмотрим более подробно частный случай, когда среди тензорных аргументов коэффициентов Lb присутст-
г) Величину T можно рассматривать как среднюю температуру смеси газов.
9 Л. Т. Черный
258
СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД
ГГЛ. 5
вуют только компоненты Ua9 и кинетические уравнения с учетом соотношений Онсагера — Казимира имеют следующий простой вид:
N И
Tai= 2 CtifT,+ 2 airXr+ a.iyaha(i,
/= 1 г=\
TSl= S (хі/ФГ+МТ).
/=і
Г/}’= 2 (ЬпФ) +^ifWJ), (16.50)
/-1
TV Я
Twr= 2 a^i+ + fcrVaPeae,
f==l 7= 1
/ N Н \
Ta* = Yap U 2 a‘T‘ + T 2 krXr + ^v6eVfi) + 2^p.
' і =! г=1 /
где І, /=1, 2, TV; 9, г=1, 2, /?;
«« = «/<. Xif = Xa, @>u = S>tu kro = kqr. (16.51)
Входящие в эти уравнения скалярные коэффициенты переноса
CtiJ, &ir, О»* Xi/. bih & if, krqy kry Л,, (I
могут зависеть, например, от собственной плотности частиц различных сортов щ и от температур компонент смеси Ti—ds/dSi и должны удовлетворять вытекающим из тождеств
(16.49), (16.3) равенствам
N NN
2 «і/ = 0- Д) air = 0, 2 ai =* °.
^ ^ ^= ^ ^ ““ I J 1 л гп
w * (16.52;
2 ITiibji = 0, 2 'Щ^и = 0'
і*= 1 <=*1
§ 16]
СМЕСЬ ГАЗОВ
259
Используя их и учитывая соотношения Онсагера (16.51), кинетические уравнения (16.50) можно представить в виде
Первое уравнение (16.53) вместе с определением (16.48) величин о'і и выражением (16.47) для о задает локальные скорости изменения энтропии компонент смеси Oi. Для однотемпературной смеси газов, т. е. для такой смеси газов, в которой выравнивание температур компонент смеси происходит бесконечно быстро, имеем ay = OO (І Ф /) и
В этом случае первый член в выражении (16.47) для диссипативной функции о можно опустить, так как в силу тождества (16.49) Он равен нулю.
