Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Второе равенство (16.53) с учетом выражений для ФУ, 47, следующих из динамических уравнений (16.25),
(16.26), и определения компонент 4-вектора плотности потока тепла і-й компоненты смеси Qf = TiSf представляет собой релятивистский закон теплопроводности для /-й компоненты смеси. В частности, для смеси идеально теплопроводных газов Xjj = Oо и Ф/ = 0. В этом случае функционал 6W* не содержит члена с вариациями беру.
Третье равенство (16.53) с учетом выражений для Ф?, 47» следующих из динамических уравнений (16.25), (16.26), представляет собой релятивистский закон диффузии 1-й компоненты смеси. В частности, для смеси идеально
N
N
/ = 1
N
TSl = 2 Ьуф? + mjbij (тт14] -
/= 1 N
TIl = ? MT + шЛ («7*47 - Znr1YT)], (16.53)
/= 1
N
Tdir= 2] a‘r (Ti-T)-^Y1 krqXg -j- &rYaPeap,
T1 = T2 = ... = Tn = T.
(16.54)
260 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД
[ГЛ. 5
диффундирующих газов = оо (іфі) и
mf'Fy = т*'Vj =... = mjJWl = (X (16.55)
В этом случае из соотношений (16.15), (16.18), (16.55)
вытекает тождество
N N
IT=- 2 'У^ = — 2 = °» (16.56)
'Y f=l і= I
означающее, что для смеси идеально диффундирующих газов функционал 8W* не зависит от вариаций б'фу (удовлетворяющих связям).
Четвертое равенство (16.53) вместе с определением химического сродства г-й реакции Xri следующим из второго динамического уравнения (16.26), дает выражение для локальных скоростей реакций, т. е. законы кинетики реакций. Для равновесных реакций krq = ooy и из четвертого уравнения (16.53) и второго уравнения (16.26) получим известные соотношения:
Xr = Of 2 VirJxl=O. (16.57)
*= і
В этом случае функционал 6W* не зависит от вариаций 6 Пятое равенство (16.53) представляет собой релятивистское обобщение закона вязкости Навье —Стокса для смеси разнотемпературных реагирующих газов. В частности, для невязкой смеси Cli = kr = X = [l = 0.
Из уравнений (16.53), (16.47) следует, что в однотемпературной, невязкой смеси идеально теплопроводных и диффундирующих газов, все реакции между которыми равновесные, диссипативная функция а тождественно равна нулю и, следовательно, все процессы обратимы. В этом случае на основании параметрического представления (6.29) для а и второго соотношения (6.34) имеем
IJ = O, І>< = (Р(?а). 26Ф. = °> (16-58>
(= I * = 1
так как параметр производства энтропии для смеси в целом <р теперь определяется начальными условиями и может рассматриваться как неварьируемая функция типа X5 (ga). С учетом равенств Фу = Xr = TaP = O и соотношений (16.54),
СМЕСЬ ГАЗОВ
261
(16.56), (16.58) получим
XVr—S30. (16.59)
Поэтому для смеси газов в рассматриваемом случае, когда все процессы обратимы, из исходного вариационного уравнения (16.13) вытекает принцип экстремальности действия
67 = 0 при 6W = 0. (16.60)
Однако при выводе из него динамических уравнений необходимо учитывать связи (16.18) и (16.58). Это можно сделать, например, методом неопределенных множителей Лагранжа, добавив к левой части уравнения (16.60) тождественно равный нулю функционал 6№*, определенный равенством (16.59). Легко видеть, что из принципа экстремальности действия (16.60) вытекают уравнения, получающиеся из уравнений (16.24)-(16.27), если в них положить
Tap=aO, Ti = Ty (Diy = O, ^Y = mAVv, *г-0.
Отметим, что, как и в предыдущих параграфах, после построения рассматриваемой модели параметры <р*, <рУ,
Xr можно не использовать.
Специальные модели. Модель, для которой лагранжиан Л и функционал W* имеют вид (16.1), (16.14), представляет собой модель смеси заряженных, теплопроводных, вязких, реагирующих газов и электромагнитного поля. Очевидно, она является обобщением построенных в § 13 и 14 моделей однокомпонентного газа и электромагнитного поля.
Рассмотрим более подробно частные модели смеси газов, в которых функция е из выражения (16.1) для лагранжиана имеет следующий специальный вид:
N
8 = 8i(tlit Sit Iiit Siii Qiit Xjff). (16.61)
і= I
Здесь каждая функция е,- зависит только от указанных аргументов с тем же самым значением индекса i. В этом
262 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. 5
случае лагранжиан (16.1) можно записать в виде
л—ш^+ 2
I = і
Л, — — в, (/IiMe H- J- /?) Аа-г„ (16.62)
рассматривая первый член как лагранжиан электромагнитного поля, а каждое слагаемое Ai как лагранжиан і-й компоненты смеси в электромагнитном поле. Если лагранжиан любой компоненты смеси не зависит от присутствия других компонент смеси, то каждая функция е* должна однозначно фиксироваться значениями характеристик і-й компоненты смеси, в определении которых не участвует 4-скорость смеси, т. е.
Bi = Si ((T)iTli), (SiSi), (I)iSi), КІВ). (16.63)
Здесь
(%Лі) = ?орл“ Л? = — I и,
(SiSi) = gafiSh? = C2S2i — Sn,
(t]/Si) = ga$4?sf = CiZliSi — Qli,
% — 4-вектор плотности потока числа частиц f-ro сорта, Si- 4-вектор плотности потока энтропии 1-й компоненты смеси.
Для смеси ультрарелятивистских газов след тензора энергии-импульса равен нулю, и на основании соотношений (14.6), (16.21), (16.53) и (16.61) имеем
