Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Переход к ньютоновской механике. Рассмотрим переход к ньютоновской механике в случае, когда кинетические уравнения для необратимых процессов имеют гид /16.53). Выражение (16.24) для компонент тензора энергии-
рСф =
266 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. 5
импульса можно записать следующим образом:
N
ÓР= ?(С)Ы“Ые + ! 2 М“ + TiSia) и*> - If* + TT/), (16.73)
f=1
N
*(С)-2 (|*Л + 77*) Vap +
і = I
+ 2 7W7^s'O+^p- (16-74>
і. /= I
Здесь »(С), и*» 71/— соответственно плотность энергии смеси газов, химический потенциал и температура і-й ее компоненты, которые определены равенствами (16.42), (16.24),
(16.26).
Так как uaI? = uaS? = и$ра$ = 0, то в любой ГСК Xv выполняются равенства
/? = ^/ь SI = v^Sl Pv0 = ^Pv*, P00 = ^V*. (16.75)
Рассмотрим в пространстве событий произвольную точку дс* и выберем собственную для нее ГСК x*v так, чтобы в трехмерном физическом пространстве наблюдателя с ГСК Xv оси х*к были параллельны осям хк. Тогда в точке х* относительно ГСК x*v уравнения (16.24)—(16.27), (5.34) и (16.53) с учетом соотношений (16.73)-(16.75) и (5.38) запишутся следующим образом:
*(С) . ~ ., ^ . 2 " д(
1=1 N
2
і= 1
N
_1_ '
C2
Iі + »,с, (3*0*)* +* 2 M + =
і= I
= р*кп (dnvk)*-dt 2 (TtSf+ +І**ЕІ; (16.76)
І= 1
[*(«(?)*-р"" т)"+^ І^+мїг -
N
= d*np*k* - і 2 (T‘s<" + ^7'")* +
*= 1
+ г?1+ (16.77)
C
§ 16)
ф Ik = OtTi +
СМЕСЬ ГАЗОВ
267
/=I
xVfk = -Єі Et +ді\іі +
+Er?Д(?'*+??)+?(?*)'* <16-79>
0»в*)*-о, є*»" «„?»)* — !(тг)'.
Bk = Bkt
(,дкЕ»)* = 4яг, «**» (dpB„)* = ^ /•* + і (^-)*, (16’80)
Z=Zeinit ^ = YeiIf, ^ = ^,^ = ^-,( 16.81)
1=1 (=1 ? *
N R
Toti= 2 aU (Ti — Ti)+ 2] CLirXr + а$кпе%п*
/=I Г=\
Tsr = - 2 І + biJ (т'‘ - S 'F?*)] -
і=\
Tif=- 2 [&л+^l7 (п - 2 4^)] -
(16.82)
T(Or= Z CLir (Ti — Т) 4“ 2 ^rqXq + krbkne*n,
і — 1
‘ = 6*л
<7=1 R
2 ^ + 2k' т+іуртец+2^еі
4=1
'=I
і* 1
К этим уравнениям необходимо еще добавить уравнение баланса числа частиц і-го сорта (4.24) и уравнение баланса энтропии і-й компоненты смеси (6.20), записанные в
268 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. 5
собственной ГСК x*v:
%i + n,(»,vr +і'"(ж)’ - 2
Г=* I (lo.oo)
fttr + Siidtvr + ^S** (?* = ?.
Входящие в соотношения (16.82) величины а і, T определены равенствами (16.48). При выводе уравнений (16.76),
(16.77) из уравнения (16.24), как и в § 14, слагаемые (dvT(F))* были преобразованы с учетом выражения (14.6) для компонент T(F) и уравнений Максвелла (16.80). Кроме того, при записи уравнений (16.76), (16.77) и (16.83) для производных от величин Ii, S*, ркп использовались равенства, аналогичные равенствам (13.87), а при выводе уравнений (16.78), (16.79) использовалось тождество (13.88).
Так как энергия всякой релятивистской материальной точки с массой т состоит из энергии покоя тс2 и кинетической энергии, которая остается конечной при с-*-оо (см. § 2), плотность энергии смеси газов &(о можно представить в виде
*(С) ~рс2 +
где
N
6° = Є - рс2, р = 2 т'п"
і— I
причем величины %° и 8° остаются конечными при С-vоо.
Как и в § 14 и 15, для перехода к ньютоновской механике отбросим в уравнениях (16.76) — (16.83) слагаемые, пропорциональные c~2f и затем перейдем от ГСК **v, собственной для рассматриваемой точки **, к ГСК Xvf общей для всех точек х*у пренебрегая при этом в преобразованиях тензорных компонент малыми величинами, пропорциональными с~2. Если функция 8° зависит ОТ Cf ТО в ней также надо провести аналогичный предельный переход. При этом функция е°, вообще говоря, может перестать зависеть от всех или некоторых аргументов Iijf Sijf QiJ. В результате указанной процедуры получим следующие уравнения, описывающие в рамках ньютоновской меха-
§ 16]
СМЕСЬ ГАЗОВ
269
ники смесь заряженных реагирующих газов и инвариантные относительно преобразованья Галилея с точностью до членов, пропорциональных Cr2:
р ш (т+IT-дк Vkv* - 2 (TiS‘+iiM+
L і=\
R N
+ (zvk + jk) Ek-C2 2 VjrZnjCe,,
г* W= I
P= ^Pftn + zE" +| e**« (zvp + jp) Bn, iP _ jP,
Pkn = W-Ii (V,
L *= і
+ T і$і)
6*л +
Yi*=ад+is J- 2
/=1
дв9
д‘т ia^dQi
Sja)
Г де* . де*
1 3? ’ д/іг:
е^ар?л = -1:^, ^dpBn = ? (zt;* + /*)+± ТГ
JV JV
д*В* = 0, д*?* = 4яг, Z = 2 /Л = 2е'7';
f=»l f= 1
R
і Л Zr*, 7 ^%, Лч
dt
Г=\
К этим уравнениям необходимо еще добавить кинетические уравнения для необратимых процессов в ньютоновской механике, которые получаются из соотношений (16.82), если в них опустить индекс * и подставить вместо величин ekn и Iii их значения 1IbdytVn) и JniC2 + [і/ соответственно. При этом члены HiidvkIdt9 входящие в вы-
270 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. 5
ражения для компонент Wikt после подстановки последних в кинетические уравнения для Iki и Si сокращаются.
N
Величины с2 2 присутствующие в полученных НЬЮ-
;= і
тоновских уравнениях, остаются конечными при C-^oof так как в этом случае из закона сохранения 4-импульса
