Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
тензор обратимых деформаций
^ab 2 ^ab
тензор остаточных деформаций
ДОПОЛНЕНИЕ 273
гистерезиса достаточно ограничиться следующим набором определяю щих параметров:
vO Sab, ив. Vа, В°> *а». !**“• s> (!)
Здесь —компоненты скорости точек среды; S —энтропия единицы массы; Xfi-набор компонент тензоров, характеризующих физические или геометрические свойства среды в начальном состоянии. К хв относятся и g°abt По определению принимается, что — const=
Основные уравнения. Построение моделей сплошных сред удобно производить, исходя из вариационного уравнения [12,13]
6j j Лр^8<й+бГ*+бГ = 0 (2)
Здесь Л —удельная плотность функции Лагранжа, зависящая от определяющих параметров (1); Vs—произвольная область, связанная с частицами среды; dVs—элемент объема
dv8 = УПыГ\ dl1 d? dtf=/ГЙЛ dx1 dx* dx».
Функционал бW* задается и служит для учета некоторых внешних воздействий и необратимых процессов, а функционал бW находится из (2) и представляется интегралом по границе четырехмерной области VsXtt причем вариации определяющих параметров входят в бW линейно.
Определяющие параметры (1), от которых зависит А, могут быть выражены через функции xk (?с, /), \ла (?с, /), Aa (Ici /), S (?с, /)» ^ab (?с» 0» »*а (Iе» О и иХ производные по координатам и времени. Вариации этих функций в (2) считаются независимыми и определяются равенствами
б= 0-** (6е. 0. б|і«*їі«(Б‘, 0-I* (6е. 0.
Ма=4(1с. 0-Л(5с. 0.
=Йб (1е > l)-gab(lC> 0.
6ц,*° = іІ*0 (?с, 0—й*в(5е. 0.
6S = S(i‘, О-s (5е, 0-
Тогда для Sva, 6gab, SVftlUe, ЬВС будут справедливы следующие выражения:
K=vixrJrbxi +XtaDbxh b&ab=(xrax[ + xrbx<a) VfSxjy 6v&|Xa = Vb S\ia + VcVbVc Sxat бBc = ZcabVa SAb-BcVa Sxat
где
D =E= d/dt + VkVk, Sxa = Iak Sxkt Sxa = xka Sxk = бл;г.
Компоненты тензоров кв считаются известными данными функциями от Iа и поэтому не варьируются. Учитывая, что S ip dV9)s^0t
274 ДОПОЛНЕНИЕ
для вариации первого члена в (2) находим
і 2 ¦ 2
M IJ[p“«S+p“«„.+(^Vrf^)M„+
ti V9 t\ V з
+P ^Ta «И*в +P^r + (W - PDP4) to*] dV, dt +
+ И [р 5?? (Vа+HcVc to*)+е^р 8Ла -
h Z2
-Г * to*] nb d2a<tf + |J рра бХа ^з|’. (3)
Здесь — компоненты вектора нормали к поверхности 22, ограничивающей область V9. В (3) введены следующие обозначения:
ro6=4p^^^p^SCfieft-2p ^pb
а==дл бл ^ ал ал
Р ~~ dva* 6ц,а ~ дц,а р сР dVcp,a *
(4)
По определению положим, что функционал 6W* имеет вид
tJ
W =
и V9
--L9Rab6g*b-rkyr6x*) dV3dt. (5)
t2
j j (рГ65+-^/°бЛа-рЛвбц<»-рй0бц*»-
Здесь T — абсолютная температура; ja—компоненты вектора электрического тока; — компоненты тензора вязких напряжений; ЛД| Ra^ Rdb- некоторые обобщенные силы, определяющие необратимые эффекты релаксации намагниченности, магнитного гистерезиса и пластического деформирования, с — скорость счета в вакууме.
Полагая вариации переменных на границе четырехмерной области равными нулю (при этом по определению 6Н7=0), из вариационного уравнения (2) с учетом (3), (4) и (5) получим следующие уравнения:
^9A-T Ё^-lvnJ^L-h - /Ri
OS ' фа P ^dVcVfi а' ()
- BbcaVifi — = і /“, PDpO = Vr (ТЫ+т*0; (7)
JA-=Ra, 2 ^L = Rab. (8)
“ dg*b v ’
Уравнения (6) представляют собой определение температуры и
обобщение уравнений состояния для обратимой намагниченности, учитывающее релакгяиию намагниченности. Уравнения (7) — это уравнения Максвелла для напряженности магнитного поля и уравнения
ДОПОЛНЕНИЕ
275
импульсов Уравнения (8) служат для определения остаточной намагниченности и остаточных деформаций и будут рассмотрены более подробно ниже.
Вводя вариации, отличные от нуля на границе, получим выражение для 6U?
Задавая 6U7 на границе четырехмерной области V3Xtt получим краевые условия на поверхности S2 и условия при t = tx и t = t2
При помощи вариационного уравнения (2) можно рассматривать также условия на скачках [12, 13].
Из уравнения (2) можно получить уравнение энергии. Для этого выберем значения независимых вариаций следующим образом:
Здесь ба —произвольная постоянная, a d/dt — производная по времени при постоянных ?а. Подставляя эти вариации в (2) и учитывая (9) и то, что уравнение (2) справедливо при любом объеме V$ и любых tx и /2» получим уравнение энергии
Ek и ср — компоненты вектора напряженности и потенциал электрического поля относительно системы отсчета наблюдателя, можно пре-
t\ S8
(10)
которое является следствием уравнений (4), (6), (7), (8). Используя тождество
7 ia i“E'a -/aVP' =- iaE'a-\ (ceaftcP Щс w) .
в котором
276 ДОПОЛНЕНИЕ
образовать уравнение энергии к виду
P і IfV- л)+V» [р ^ (?' + -
_се^?'р ^-(7^ + т0*) Oe]-PT § + iaE'a +
d\ia d\i*a I dg*.
+ Oha^ + ORa-^Г + у PRab1^+^bVa = O.
Дальнейшее построение моделей связано с некоторыми предположениями относительно притока тепла и плотности энергии сплошной среды и магнитного поля.
Будем считать, что имеют место равенства
V--P^f+Р4+р*„^г+р*.^ +
I <ig*
+ 2QRa> Ш +To6Vttle=O1 (11)
S = P(PaVa-A), (12)
в которых qa — компоненты вектора потока тепла, %—объемная плотность энергии сплошной среды и магнитного поля. Равенство (11) можно рассматривать как уравнение баланса энтропии. Равенство (12) устанавливает связь между плотностью полной энергии и лагранжианом.
