Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь компоненты, определенные вторым равенством <16.24). Следовательно, они являются контравариантными
СМЕСЬ І АЗОВ
253
компонентами тензора энергии-импульса смеси газов и электромагнитного поля в ССК. Поэтому для рассматриваемой модели уравнение энергии-импульса (10.15), записанное относительно ССК, совпадает с уравнением движения (16.24), а условие баланса на разрыве потока энергии-импульса (10.15) совпадает с первым динамическим условием на разрыве (16.35). Тождества (10.16), представляющие собой уравнение момента количества движения и условие баланса на разрыве потока момента количества движения, лля рассматриваемой модели являются следствием уравнений (10.15) и симметричности компонент тензора энергии-импульса смеси газов и электромагнитного поля, определенных вторым равенством (16.24).
Очевидно, компоненты тензора энергии-импульса рассматриваемой смеси газов и электромагнитного поля представляют собой сумму компонент двух симметричных тензоров TiC) и T{F):
т°» = Tfgy+ Т%, TfS) = - т“Р. (16.40)
Тензор TiP) зависит только от тензора напряженности электромагнитного поля Ft а тензор TiQ от него совсем не зависит. Поэтому их можно рассматривать как тензор энергии-импульса смеси газов TiQ и тензор энергии-импульса электромагнитного поля 7^). Определенная равенством (12.8) плотность внутренней энергии для рассматриваемой модели на основании соотношений (16.40),
(16.21), (16.15) и (14.6) представляется в виде суммы
Ш = Та$иаи§ — Ш (о -\-<&{Р)* (16.41)
где
Ш(о = г — 2^i [щ Si/^dQljQv)’ ^16-42)
а величина 8{Р) определена равенством (14.37). Слагаемое §(0 можно рассматривать как плотность внутренней энергии смеси газов, а слагаемое §(/=¦) — как плотность энергии электромагнитного поля в собственной ГСК. Следовательно, если функция е в выражении (16.1) для лагранжиана не зависит от аргументов Iij, SiJ9 Qijt то она совпадает с плотностью внутренней энергии смеси газов.
254 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. 5
Рассмотрим тождества, вытекающие из инвариантности электромагнитного поля относительно градиентного преобразования. Согласно общей теории, изложенной в § 10, для рассматриваемой модели действие должно быть инвариантно относительно градиентного преобразования (10.17),
(10.18)1). Следствием этого являются тождества (10.25),
(10.27), которым должен удовлетворять лагранжиан. Используя выражения (16.20), (5.14) и (5.15) для б/, и и антисимметричность компонент Fa^9 Yy»
легко проверить, что для рассматриваемой модели действие инвариантно относительно градиентного преобразования (10.17), (10.18). Соответствующие выкладки получаются из преобразований (14.38) путем подстановки в них выражения (5.15) для с учетом кинематических соотношений на разрыве (16.32) для параметров диффузии Лагранжиац (16.1), очевидно, имеет вид (10.25), и, как отмечалось в § 10, дА/дАа = — Cr1Ja. При этом соотношения (10.27) тождественно удовлетворяются в силу параметрических представлений (5.14), (5.15) для компонент У06 и кинематических соотношений (16.32) для параметров диффузии Доказательство этого утверждения аналогично доказательству (14.38) равенства 6л/ = 0.
Получим инвариантное уравнение энергии и тождество для коэффициентов при вариациях в функционале бW*9 вытекающее из вариационного уравнения для действительных процессов. Легко видеть, что все определяющие параметры (16.7), кроме Aaf относятся к типу параметров р,А (см. § 10), связи (16.5) относятся к связям типа
(10.35), а коэффициенты при вариациях в функционале bW* (16.14) и лагранжиан (16.1) удовлетворяют условиям
(10.36). Следовательно, применима общая теория, развитая в § И и 12, и, в частности, для действительных процессов выполняются тождества (12.7), (12.10). Входящие в них компоненты Ma9 определенные равенством (11.48), для рассматриваемой модели вычисляются точно так же, как и в § 13, и оказываются равными нулю. Компоненты Wa9 определенные равенством (12.6), на основании соотношений (16.38), параметрических представлений для величин 57, П и выражений (16.1), (16.40), (14.6), (16.22), (16.23), (16.4) для Л, Tap, Ti69 Jbii6, Jy можно пред-
1) Cm. примечание перед формулой (10.19).
СМЕСЬ ГАЗОВ
255
ставить в виде
r--cO„-2(|JS?+$/?) +
*=I
+с WwPv+2 2 Si/+J&;Qii)+
і, /==1
+ - JyA
1 п
с
и* + _ЙГ faPVр (AyUy) -JaAyUy. (16.43)
Подставим в тождество (12.7) выражения (16.1), (13.55) и (16.43) для A, Mu и Wa и учтем, что в силу уравнений (16.4), (16.24), (16.27), (16.40), выражений (14.6) для ТЩ и антисимметричности компонент Fa^ для рассматриваемой модели выполняются соотношения (14.40). Используя затем выражение (16.42) для плотности внутренней энергии смеси газов и определения температур Ti и химических потенциалов (і* компонент смеси (i = l, 2,..., N), окончательно получим соотношение
(?^<С)Иа) =
N
— Т'ІС)4“ 3\UPjy, (16 44 і
і= I
в котором q°i = TiSf — компоненты 4-вектора плотности потока тепла в і-и компоненте смеси. Соотношение (16.44) можно рассматривать как инвариантное уравнение энергии, представляющее собой релятивистское обобщение уравнения притока тепла для смеси заряженных газов в электромагнитном поле.
