Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
R
+ 3 ? ^Х, + <ЗЬ + 2н)у°%$ = 0. (16.64)
г = 1
Отсюда находим, что для вязкой смеси теплопроводных, реагирующих газов коэффициенты в кинетических уравнениях и функции Ei в выражении (16.62) для лагранжиана должны удовлетворять соотношениям
а* «О, kr~ 0, ЗХ + 2м = 0, (16.65)
-ня+с» (16-66>
СМЕСЬ ГАЗОВ
263
где Cio - постоянные, сумма которых равна нулю. Так как лагранжиан зависит от суммы функций е*, постоянные Cio на него не влияют. В дальнейшем положим их равными нулю. Равенства (16.66) получаются в результате решения уравнения (16.64) с учетом равенств (16.65) и того обстоятельства, что каждая функция є, зависит только от указанных в (16.61) аргументов с тем же самым значением индекса і. Выражение (16.66) для ег полностью аналогично выражениям (13.68), (14.51) для U1 полученным в § 13 и 14 при построении моделей однокомпонентного ультрарелятивистского газаг). Если зависимость Ei от своих аргументов имеет специальный вид (16.63), то для ультрарелятивистского газа получим
в« = Ci (^L, ^i-Qn t щ\ {С2ПІ _ /..)2/3 \ с2щ — Iii С2П1 — Iii /
Рассмотрим модели смеси газов (не обязательно ультра-релятивистских), для которых функции Ei в выражении
(16.61) можно считать не зависящими от аргументов Iii9
Sat Qu•
N
8 = 2 Biinif Si, KiB). (16.67)
I= 1
В этом случае, согласно равенству (16.42), функция в совпадает с плотностью внутренней энергии смеси газов,
и, следовательно, каждое слагаемое Ei можно рассматривать как плотность внутренней энергии і-й компоненты смеси. Полученное же выше выражение для компонент тензора энергии-импульса смеси газов и электромагнитного поля принимает известный вид:
Та$ = є иаиР + руа$ +
+ 2 (т яТиь> +1 MNp*) - + 7?, (16.68)
1=1
где
N
P=^iPi, Pi = Iiini + TiSi- в и
L= 1
,. _ dfy гр дг і a__71 oa
— dni' li~ Ssl ’ Яі '—hSi,
(16.69)
*) При этом функции є, соответствует произведение PU.
264 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. б
а компоненты тензора энергии-импульса электромагнитного поля Т$> определяются вторым равенством (14.6). Скаляр р называется давлением смеси газов, а скаляры Pi и (Ii представляют собой парциальное давление и химический потенциал і-й компоненты смеси. В случае смеси ультрарелятивистских газов из равенств (16.66), (16.67), (16.69) вытекает обычное выражение для pt
8< = С‘ (^t ’ х‘в)'п^' л = I в‘• (16.70)
Присутствующие В формуле (16.68) КОМПОНЄНТЬІ ^f = TiSf и If определяются при помощи второго и третьего кинетических уравнений (16.53), выражающих релятивистские законы теплопроводности и диффузии для смеси газов. Входящие в них величины Ф/, 47 в рассматриваемом случае на основании динамических уравнений (16.25),
(16.26) и равенств (16.69) имеют простой вид:
Ф] = — (YvpVpTi + TiWy), = UaVaUy9
yVl = - (YvpVpfXi. + IiiWy + ЄіЄу), еу see FayUa.
Здесь Wy — компоненты 4-ускорения среды, еу — компоненты 4-вектора напряженности электрического поля.
Плотность свободной энергии і-й компоненты смеси fi (ль fFh ків) определяется равенством
fj — Cj (flit Si* Ків) TiSii
в котором собственная плотность энтропии Si предполагается выраженной через аргументы nit Til KiB из соотношения Ti = dsi/dsi. При помощи равенств
e,-/, + 7V„ ,16.71)
все основные уравнения рассматриваемой модели смеси газов можно записать, используя вместо функций е,-функции
Для смеси совершенных газов с постоянными теплоемкостями функции в,- и fi определяются следующими выражениями:
Bi = Щ j CiCivH^civ exp I7^r) + ei0],
СМЕСЬ ГАЗОВ
265
Здесь CiV- постоянные, называемые теплоемкостями компонент смеси (/=1, 2,N)\ k — постоянная Больцмана; Ci, 8/о — постоянные.
Выражения (16.72) для Ei и fi можно использовать для описания смеси слаборелятивистских или ультра-релятивистских газов. В последнем случае в них в соответствии с первым соотношением (16.70) следует положить Civ = Sky eio = 0.
Используя соотношения (16.71), (16.72) и приведенные выше определения величин Ti, Ph (Ii, получим известные уравнения состояния для смеси совершенных газов [36]:
CiTikJ4v
Si = HiCiV ІП 7р~ , Si = /Zi (CivTi -{- 8to),
Vi = ~ + ЬТі = KTi In ^ni j + (c,*v + k) Ti + ei0,
Pi = IiniTi.
Если функция е в выражении (16.1) для лагранжиана не зависит от аргументов IiJ9 SiJf QiJy то рассматриваемую модель вязкой смеси теплопроводных, реагирующих заряженных газов можно построить, не вводя параметров переноса и производства энтропии компонент смеси сра, <р., параметров диффузии частиц различных сортов г|if и параметров реакций Xr. Для этого следует в качестве определяющих параметров вместо функций (16.7) взять функции Xv(Iy)y Si(Iy)9 щ (Iy)9 Ла(^), опустить второй член в выражении для лагранжиана и соответствующим образом переопределить функционал 6№*. При таком подходе, однако, из вариационного уравнения невозможно получить второе и третье соотношения (16.35), представляющие собой динамические условия на разрыве для уравнений баланса энтропии f-й компоненты смеси и частиц і-го сорта. В этом случае они должны задаваться на основании дополнительных гипотез.
