Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Черный Л.Т. -> "Релятивистские модели сплошных сред" -> 78

Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.

Черный Л.Т. Релятивистские модели сплошных сред — М.: Наука, 1983. — 288 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativiskiemodeli1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 91 >> Следующая


(16.18). Учитывая их методом неопределенных множителей

х) Cm. примечание перед формулой (13.45). Все сказанное там

остается в силе при замене 6<pY на 6<pJ или на
250 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. 5

Лагранжа, получим уравнение

Л’

Swc+ ^ j 2(? yVmi + »»<¦) ? (м>?) +

+ (і(Ф),б(«аф?))+^ = 0, (16.34)

где Ца. Ич+)«> Ц(ф) і — неопределенные множители Лагранжа. Подставляя в уравнение (16.34) выражение (16.33) для функционала SWс и исключая множители Лагранжа, найдем следующие динамические условия на разрыве1):

{т&%}±=о, {TVei о,

В следующем пункте будет показано, что первое равенство (16.35) совпадает с вытекающим из теоремы Нётер условием непрерывности на разрыве потока энергии-импульса смеси газов и электромагнитного поля.

Второе равенство (16.35) вместе с соотношениями (16.29) образует условия на разрыве для уравнения баланса

энтропии і-й компоненты смеси. Это равенство полностью аналогично второму динамическому условию (13.46) и может быть представлено в виде соотношений, получающихся из равенств (13.48) и (13.49)-(13.51) путем замены величин Tf Tvl на Ti, Till. Например,

[Ti]+ = 0 при UaIa = Oy

[Т’.Ит]+=0 при UaIa Ф 0, IJa=J= 0, ^ = 0. (16-36)

dSf

Таким образом, если в смеси теплопроводных (д—Т^Ф Ф 0) газов на гиперповерхности разрыва SWc = Ot UaIa = 0 и величины Sit Oi внутри разрыва, рассматриваемого как бесконечно тонкий четырехмерный слой, остаются ограниченными, то на таком разрыве температуры Ti^dtjdsi компонент смеси должны быть непрерывны. Если же в смеси теплопроводных газов с лагранжианом, не зависящим от Sft на гиперповерхности разрыва SWc = O9

1J Легко видеть что множители [Аф/, Мчфц- оказываются тождественно равными нулю.
СМЕСЬ ГАЗОВ

251

иа1аФ 0, IaIaф 0, а величины Si внутри разрыва, рассматриваемого как бесконечно тонкий четырехмерный слой, остаются ограниченными, то на таком разрыве касательные к нему 4-векторы TiUx должны быть непрерывны.

Третье равенство (16.35) вместе с соотношениями (16.31) составляет условия на разрыве для уравнения баланса числа частиц і-го сорта, образующих і-ю компоненту смеси. Причем в силу кинематического соотношения

(14.27) и тождества Ф/Vy IV—g величины е^Ау, входящие в выражение (16.23) для из третьего динамического условия (16.35) выпадают. Используя рассуждения, проведенные при выводе соотношений (13.48) —

(13.51), третье условие (16.35) можно представить в виде соотношений, получающихся из равенств (13.48)-(13.51) путем замены величин T и Tv соответственно на Ц/ и Hiv-Ц/v, где v'( = Iiilmh Hiv = HivImi. Например,

[Ri]± = W]l = --=[Илг]± ПРИ UaIa = O,

[hX]± = --- = IRjv«t]± при иа1а Ф О, (16 37)

и°фО.

Следовательно, если в рассматриваемой смеси диффундирующих (Ii ф 0) газов на гиперповерхности разрыва 6ft7c = 0, UaIa = O и величины Tj,-, Vi остаются ограниченными, то на таком разрыве скачки химических потенциалов [іі = де/дпІ9 деленных на массы mh должны быть одинаковы для всех компонент смеси. Если же в смеси диффундирующих газов с функцией е, не зависящей от /?, на гиперповерхности разрыва SWc = Ot UaIa Ф 0, IaIa ф0 и величины ту остаются ограниченными, то на таком разрыве скачки касательных к нему 4-векторов |\\их должны быть одинаковы для всех компонент смеси.

Последнее равенство (16.35) совпадает G последним динамическим условием (14.30) и имеет тот же физический смысл (см. § 14).

Динамические тождества. Рассмотрим динамические тождества для смеси газов и электромагнитного поля. Для этого, как и в § 13—15, применим теорию, развитую в предыдущей главе. Сравнивая общие выражения (7.19), (9.1) и (10.13) для функционалов SW*t 6W и вариаций соответствующих бесконечно малому преоб-

разованию Пуанкаре (10.11), Q их конкретными выраже-
252

СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД

ГГЛ 5

ниями (16.14), (16.28) и (16.16), (14.33), найдем, что для

рассматриваемой модели коэффициенты Ma, Aft, Aft8,

WaA, Wa/, lav, Iv, входящие в указанные общие выражения (7.19), (9.1) и (10.13), имеют вид

Vа Ma М« Mf WaA Wf /jfv I*

0 Ф іу Vy т'а xI- 0 TyaIl 0 XtjLl6V) б* uV
ф7 0 0 0 0 0
фі Ti Vy Ъу Vy 0 0 0 0 0 0
+7 0 0 0 0 0
Ir -Xr Vy 0 0 0 0 0 0
Ma/ п W0F Iа fILlV Iа 1V

Ay 0 0 0 — ~ Fya 0 0 О

» 4 л.

Рассмотрим законы сохранения энергии-импульса и момента количества движения, вытекающие из однородности и изотропности пространства событий. Легко проверить, что для вариаций (16.16), (14.33) все условия теоремы Нётер удовлетворяются. Следовательно, на действительных процессах выполняются тождества (10.6)-(10.10), (10.15), (10.16), записанные с учетом выражений (16.38) при Ib = Iv и /в = ZjJv. Указанные тождества выражают законы сохранения энергии-импульса (при Ib = Iv) и момента количества движения (при Zb = Zi^v) смеси газов и электрического поля. Общие выражения (10.14) для компонент 74?, Mі V ? тензоров энергии-импульса и момента количества движения в рассматриваемой модели на основании выражений (16.38) принимают вид

r;a = 77U M^ = x^v{T'«, Tf-gy^T**. (16.39)
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed