Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
[ГЛ. 5
ная плотность энтропии 5 при этом остается постоянной вдоль мировых линий среды (для непрерывных процессов) и является неварьируемой функцией, определяющейся начальными условиями и условиями на разрывах.
Модель тепло- и электропроводного, поляризующегося и намагничивающегося, вязкого газа (или жидкости) и электромагнитного поля получается как частный случай рассмотренной в настоящем параграфе модели, для которого функция U в выражении (15.1) для лагранжиана имеет вид
где все неварьируемые параметры кв — скаляры.
В связи с данным определением модели поляризующегося и намагничивающегося газа отметим следующее обстоятельство. Из условий (15.4) следует, что величины P29 т2, определенные равенствами (15.52), зависят от компонент Yap только через величины уаЬ. Последние образуют матрицу, обратную по отношению к матрице | Yc<fll>
И, СЛеДОВатеЛЬНО, ЯВЛЯЮТСЯ фуНКЦИЯМИ ОТ ВеЛИЧИН YCd-
Поэтому выражение (15.52) для U действительно представляет собой частный случай функции (/, присутствующей в выражении (15.1) для лагранжиана.
Подставляя в равенство (13.26) выражение (15.52) для U и используя условия (15.4), свойства компонент УаЬ> Yp (см* § 3) и соотношение dyab = — yacybd dycd, найдем компоненты Ра& для поляризующегося и намагничивающегося газа:
= рUtiaUb -i_ р2 _ -і- 2р_ р*р» + 2рm“mp. (15.53)
Рассмотрим более подробно модель газа, в которой
где в' (?а), |х' (?а) — известные неварьируемые параметры типа кв- В этом случае уравнения (15.51) принимают вид
U = U(p, S, P2t т2, ив).
P2 = YapPaPp, m2s=YaP"VWp.
(15.52)
P2+ -^ZTitn2+ рО(р, S, кв), Г = со, (15.54)
(15.55)
Подставляя эти выражения для ра, та в равенства (5.45), найдем соотношения между компонентами 4-векторов
§ 15] ПОЛЯРИЗУЮЩАЯСЯ СРЕДА 237
индукции и напряженности электрического и магнитного полей
da = s eaу ba = {і Ha.
В собственной ГСК они, очевидно, записываются следующим образом:
Dt = е' Е%у Bt = IifH t (15.56)
Коэффициенты є', [і' называются диэлектрической и маг• нитной проницаемостями газа. Компоненты тензора энергии-импульса поляризующегося и намагничивающегося газа и электромагнитного поля в случае, когда справедливы соотношения (15.54), можно представить в виде
Tap = 7?/> + P$, + Pap-Tap = Tap + 7tS). (15.57)
где
Tap = pUuau& -Mvotp + 7 q(au^ — т“р, р з=* P2^1
Tfl = 7? + Р$у+ 2я + +
+ <«(Й+^). С5.58)
а величины <7a, 7?, Рщ) определяются равенствами
(15.50), (14.6), (15.9). Очевидно, компоненты Та$ совпадают с компонентами тензора энергии-импульса в модели газа (см. § 13), для которой A = — pU (р, S, хя). Используя уравнения (15.55), непосредственной проверкой можно убедиться, что в собственной ГСК компоненты Т*А) записываются следующим образом:
т1*оо &'Е*2 , В*2 /р*ofe rp*kо_ 1 пъгпк* о*
Т<А^ =+ SSiI7 • М*> = мл>-4Н|?е (15.59)
Т=~Ш {г'Е1Е* - І Е*г8»' + ІГ В%В* - 2Ь В*Щ*г) •
Тензор, компоненты которого в собственной ГСК определяются равенствами (15.59), называют тензором энергии-импульса Абрагама электромагнитного поля в поляризующейся и намагничивающейся среде.
Таким образом, определенные последним равенством (15.58) компоненты 7? совпадают с компонентами тензора Абрагама, которые можно также записать в виде
7?i> = Т% - ^ (в' - ~) гa6UWevFiL (15.60)
238 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. 5
Однако этот вывод верен только в случае, когда справедливы законы поляризации и намагничивания (15.55). При этом для плотности внутренней энергии поляризующегося и намагничивающегося газа и электромагнитного поля получается известное выражение:
Ш = Т<#иащ = рй (р< S, хв) +^ E**+ ^Г,Я«.
Для совершенного газа функция U (р, St хв) задается формулой (13.75) и имеют место уравнения состояния
(13.76), в которых следует заменить величины Unp на U и р.
Рассмотренную в настоящем параграфе общую модель нелинейно-упругой тепло- и электропроводной, поляризующейся и намагничивающейся, вязкой среды и электромагнитного поля можно также построить, не вводя параметров переноса и производства энтропии сра, ср и параметров электрического тока Для этого следует: в качестве определяющих параметров вместо функций (15.5) взять функции Xv (^), S(lУ), Aa ЦУ), Pa(Iy), ma(SY), опустить в выражении (15.1) для лагранжиана член C-1JaAa и определить функционал Stt7* следующим образом:
6Ц7*=1 ^ [рГб5 + (т“Р VpSxa-
$'/±е
- I JaSAa + PaSpa + MaSmaJ V=gd%
При таком подходе, однако, из вариационного уравнения невозможно получить на разрыве первое условие (15.30). Кроме того, он непосредственно не применим в общем случае, когда лагранжиан зависит от аргументов
Sa, Л Z-
Переход к ньютоновской механике. Рассмотрим переход к ньютоновской механике на примере простейшей модели поляризующегося и намагничивающегося газа, для которой выполняются равенства (15.54). Рассуждая, как и в § 13 и 14 при переходе к ньютоновской механике, найдем, что относительно собственной ГСК x*v уравнения
(15.21) — (15.23), (5.34) в рассматриваемой точке х* на основании выражений (15.57) и (15.58) для компонент
