Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
бфї дг бфі I / о де \
хГГ^ГгМт!У+
X
+ ^ CiipVtp (hy]df/[j) + SjyI dQi/ j e,Favu“j * I -
- [щ Vgfap +1 Ja] 6Ла| -
я г w
¦2 2-
r=l J = I
д& ’ дгіі
hr
Ky
-M1
П/) + ^“Р]бха +
+ 2
tv
av + 2 №.
RiV
І=І Здесь
N
іДр бф^ u™
ITT+tiivTT.
- FaHAjlfidK. (16.20)
4я
- J [щ OtxIf + 21 и^) + щ WS? + 25і;^р) +
+ ^(7W "Ь 2QiZSocp)] + eg“p, (16.21)
2(5?^'+? 4’ <16-22>
і. / = 1
<И
rT ^ /, _ — 0Sf Y
/ = 1
fliV-"drtj wV с 2 (a/<l7) ^v + (JQi7 S/y) + ^Лу- (16.23)
Подставляя в вариационное уравнение (16.13) выражения (16.20), (16.14) для б/, б№*, найдем систему динамических уравнений для непрерывных процессов и
СМЕСЬ ГАЗОВ
24?
функционал 6U?1):
VtJW = O, T°t = r$, + P°*-t#, JP = Tlf (16.24)
-v?v«?-t“"Vv +
+ afi I Vlt (s„, = фп, ,16.25)
+ + ,,6.26) — 2 v^i = (^' ”Snl) •
I=I
VpFap = —^Za1 /“ — 2 «<(с«і«“+ /“). (16.27)
I =1
«r-і I Uto„+J;(r„^+
dV + i± 1 '=1
JP бгЬуП f°P )
+ ftiY -^-J - — 6Ла) /р d%. (16.28)
Первое уравнение (16.24) с учетом второго представляет собой уравнение движения смеси заряженных газов в электромагнитном поле. Как будет показано ниже, оно совпадает с уравнением энергии-импульса, вытекающим из теоремы Нётер, причем компоненты Tap являются компонентами тензора энергии-импульса смеси газов и электромагнитного поля. Последнее равенство (16.24) при = 1, ..., N можно рассматривать как определение обобщенных абсолютных температур компонент смеси. Уравнение (16.25) служит для определения компонент 4-вектора плотности внутреннего потока энтропии Sf или 4-вектора плотности потока тепла qf = TiSf і-й компоненты смеги. Вместе с уравнением баланса энтропии (6.20) оно описывает процесс переноса энтропии /-й компоненты смеси. Первое
1J С учетом сделанного выше замечания о равенстве нулю множителей Лагранжа.
248 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. 5
уравнение (16.26) служит для определения компонент 4-вектора плотности диффузионного потока частиц, образующих і-ю компоненту смеси, и вместе с уравнением баланса числа частиц і-го сорта (4.24) описывает процесс их переноса. Второе уравнение (16.26) можно рассматривать как определение величины Xrt называемой химическим сродством г-й реакции. Оно используется при нахождении локальной скорости г-й реакции. Производные дг/дпі = Iiit входящие в уравнения (16.26), можно рассматривать как обобщенные химические потенциалы компонент смеси. Уравнение (16.27) вместе с соотношениями
(5.35) и (16.4) образует записанную в четырехмерной форме систему уравнений Максвелла для электромагнитного поля в многокомпонентной проводящей сплошной среде. Замыкающие систему уравнений (16.24)-(16.27) законы, которые можно использовать для независимого определения коэффициентов при вариациях в функционале бW*t рассмотрены ниже.
Условия на разрывах. Как и в предыдущих параграфах, будем исследовать разрывы, на которых функции xv (Iу) непрерывны. Рассмотрим кинематические соотношения, связывающие значения вариаций определяющих параметров на двух сторонах гиперповерхности разрыва 2С. Для вариаций 8xvt ЬАа по-прежнему примем условия (13.33), (14.28). Соотношения на разрыве для вариаций бф«, б'ф® получим, учитывая физический смысл параметров ф®, tyf (см. § 6 и 4) и рассматривая гиперповерхность разрыва как бесконечно тонкий четырехмерный слой, в котором 4-вектор плотности потока энтропии і-й компоненты смеси Si и 4-вектор плотности потока числа частиц і-го сорта Tji остаются ограниченными величинами. Кроме того, в случае, когда на гиперповерхности разрыва UaIa = О, еще предположим, что в указанном четырехмерном слое локальная скорость изменения энтропии і-й компоненты смеси Gi и локальная скорость изменения числа частиц і-го сорта v, также являются ограниченными величинами. При этом все рассуждения дословно совпадают с рассуждениями, проведенными в § 13 при выводе кинематических соотношений на разрыве для параметров фа, если в последних величины Sa, фа, а, ф заменить соответственно на SPt ф^, Git ф; или на t)ft tyft vit В результате для величин Sfft ф?, т]^, ^ получаются кинематические соотношения, полностью аналогичные соотноше-
§ 16] ОМЕСЬ ГАЗОВ 249
ниям для s“, ф“ из § 13:
OrCi « Г==-г RUi-----77=f 1TT
KiGl VTGT Уу (16.29)
sf = CSiUa+ Sf;
(v=i {7='«w}!-0 "р" »• (16.30)
[ф“]- = 0, |6<Р(]І = 0 ПрИ иа1аФ®>
Tif = CniUa+ If;
{7=М1-"0’ ПР“ „6.32)
= [8і|)“]+ = 0 при иа1аф 0.
Используя тождество (13.39), условия (16.30) и (16.32) при UaIa Ф 0 можно представить в ковариантном виде, аналогичном соотношению (13.44).
Рассмотрим динамические условия на разрывах. Используя кинематические соотношения (13.33), (16.30),
(16.32), (14.28) и полагая вариации определяющих параметров равными нулю на границе OV, представим выражение (16.28) для функционала бW в виде1)
-±{F*%}bA+)d%. (16.33)
Задавая значения функционала 6Wct определенного равенством (16.33), получ^им динамические условия на гиперповерхности разрыва Sc. Как и в предыдущих параграфах, ограничимся случаем 6№с = 0. Вариации 6cpJ+, входящие в это уравнение, должны удовлетворять связям