Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
f 15) ПОЛЯРИЗУЮЩАЯСЯ СРЕДА 239
Та$, Ta^ примут следующий ВИД:
р W + 7* (?)* = P*"9 (V*)* ” d^** + /**^*»
p*kq = _ р2 W gfr? т**?.
(15.61)
1 Г - ldvk\* /dva\* до**I I
^lpt7 Ы) +?**’Ы +!Fj = a^*ft?- ? +
+ рZEt + 4 ^ Г PB*, - ^ (?* W - В*Щ ?) +
+ ??1 [epffefiSfl?^*0-)* +
+е*™ (EpBqdnvn+ -^ EpB9J]; (15.62)
ф* = д*кТ + ~ , Vt = -Et, (15.63)
(дкв*)* = о, «** (ар?,)* = -} (tpf, в» шш в„,
(dkD*)* = 4jtpZ, <*РЯ (дрнд)* = ^ /** +1 (^)*, D* В. Dft.
(15.64)
При выводе уравнений (15.61), (15.62) из первого соотно-шения (15.21) слагаемые (dv7Y^))* были преобразованы с учетом выражений (15.60) для компонент 7?, уравнений Максвелла (15.64) и уравнений состояния (15.56) для трехмерных векторов индукции и напряженности электрического и магнитнрго полей. Кроме того, для производных от величин qk, pkq использовались равенства (13.87). Уравнение неразрывности, уравнения, определяющие обратимые процессы поляризации и намагничивания, а также уравнения, определяющие необратимые процессы теплопроводности, электропроводности и вязкости, по-прежнему будут иметь соответственно вид (13.82), (15.56) и (14.60).
При OO ДЛЯ ПЛОТНОСТИ энергии среды ^(С)СПрЗВЄД-ливо выражение ё(С) = рс2 + &°, в котором слагаемое S9 является конечной величиной. Поэтому на основании соотношений (15.42), (15.54) получим U = c2 + Uc (р, S9 кв).
Для перехода к ньютоновской механике, как и в § 14, отбросим слагаемые, пропорциональные <г2, в уравнениях
(15.61)—(15.64) и затем перейдем от ГСК x*v, собственной для рассматриваемой точки х*, к ГСК Xv9 общей для всех
240
СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД
[ГЛ. 5
точек х*9 пренебрегая при этом в преобразованиях тензорных компонент малыми величинами, пропорциональными с-2. Аналогичный переход проведем также и в соотношениях (13.82), (15.56), (14.60). В результате получим следующие уравнения, описывающие в рамках ньютоновской механики рассматриваемый электропроводный и теплопроводный, вязкий, поляризующийся и намагничивающийся газ и инвариантные относительно преобразования Галилея с точностью до членов, пропорциональных сгг:
Р It (f + ^°) = д9 ^pk9vk ~ q+ + У) Ек + QkVk'
P^ = + рZEk + Jе*™ (рZvp + jP) Bg + Q*;
р*? = -р^ б*?+ т*?,
Здесь е' = е'(|а), ц' = ц’ (|а) —заданные функции от лагранжевых координат. Для плотности р и компонент тензора вязких напряжений по-прежнему получаются уравнения (13.91) и (13.94).
§ 16. Смесь заряженных, реагирующих газов
Определяющие параметры. Рассмотрим модель многокомпонентной сплошной среды, представляющей собой смесь N заряженных, реагирующих газов, для которой
dkDk - 4ярZ, WdpH9 = ~ (pZv* + /*) +1 ^;
§ 16] СМЕСЬ ГАЗОВ 241
лагранжиан имеет вид
А=- і Fa^ - \ JaAa - е (щ, sh Iih Sih Qih к в). (16.1) Здесь t, / = 1, 2, N;
h, = -gatWl Sif = -gafiSfSf, Ql7 = -^ZfSf; (16.2)
ZmiIf = О, Ujai= 0, UaSf = 0; (16.3)
«= і
Fctp — компоненты тензора напряженности электромагнитного поля; Aa — компоненты его 4-потенциала; Ja- компоненты 4-вектора плотности электрического тока; щ — собственная плотность числа частиц /-го сорта, образующих і-ю компоненту смеси; Si — собственная плотность энтропии і-й компоненты смеси; If — компоненты 4-вектора плотности диффузионного потока частиц i-го сорта 1J; S? — компоненты 4-вектора плотности внутреннего потока энтропии і-й компоненты смеси; mt — масса покоя частиц /-го сорта; хв — скалярные параметры, являющиеся известными нева-рьируемыми функциями от лагранжевых координат смеси Iа.
Все перечисленные аргументы лагранжиана были определены во второй главе. Напомним некоторые их свойства. Для компонент Fctp, Ja справедливы выражения (см. § 5)
= 4 [сА3, J« = CZU« + j*9
P= <164)
1 = 1 1 = 1
в которых Єі — электрический заряд частиц і-го сорта, образующих і-ю компоненту смеси. Аргументы tih If удовлетворяют уравнению баланса числа частиц /-го сорта (4.24), а аргументы sh Sf- уравнению баланса энтропии і-й компоненты смеси (6.20). Для них имеют место полученные в § 4 и 6 параметрические представления через функции ф?(?*), %(?Y), ф?(?у), Фі(1у), связанные между
•) Отметим, что в нерелятивистской механике лагранжиан для смеси газов также может зависеть от векторов плотности диффузионного потока частиц, образующих компоненты смеси [35].
242 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД {ГЛ. 5
собой независимыми соотношениями1)
N
23 т$° = О, Ua\= 0, Uaф? = 0, (16.5)
1 = 1
причем, согласно равенству (4.50),
R
% = S V<'Xr' (16-6)
Г «1
Здесь -ф. — параметры диффузии и производства частиц 1-го сорта; ф.— параметры переноса и производства энтропии і-й компоненты смеси; Xr — параметры г-й реакции; vir— стехиометрические коэффициенты. Легко видеть, что все аргументы лагранжиана (16.1) выражаются через функции
Xv(Iv), <P?(IV), Vi(Sv), 4?(?v), Xr(Iy), AJly) (16-7>
и их производные. Поэтому функции (16.7) удобно выбрать в качестве определяющих параметров рА (?v).
Вычислим вариации аргументов функции Л |/—g, используя полученные во второй главе их выражения через определяющие параметры (16.7).
