Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Ж-=-я- О- t-'V-*-*1)]=
к у .
- ' [. г3 fty J '
fi/2Z ^ I W 1 /2/0 2\ "1_
W=Tz\V+2n + =
2 Г ** 2
- !* |_ гз mz~i~dz\'
Можно положить т = р/; разделив уравнения на р2, будем рассматривать т
как эквивалент времени. Уравнения (V. 16) принимают вид
(V. 16)
d2x 0т dy 'kx о о №
dx- dx г3 5т X - flx ,
"/20 . 0_ dx ку________
2-5-4-2/71^-Нрр -
</2* Ь , dQ тт~<-r.-\-mLz - -r- .
Л- г-' Ае
(V. 17)
- 2/7 -
Если умножим эти уравнения соответственно на
О- О^М. О - dx ' zdx • L dx
и сложим их, то получим
2 d 1 л/dQrf* dQ dy . dQ dz\ /x, 1Cv
Положим для краткости
тогда
v2 = - н- Зт2х2 - m2z2 -+-
Г
n С Г dQ dx dQ dy dQ dz~[ , л , orrt
-1-2 j Ы *-^57 Tx-^K dxJ * + C• <V' 2°)
Если Солнце движется вокруг Земли с постоянной угловой скоростью л', т.
е, е' = 0, ось х будет всегда проходить череа Солнце и, следовательно,
x' = r' = a', y' = z' = О, rc.osH= *±*±2L = X, (V.21)
что дает
^ г2 cos2 Я- х2 = 0. (V. 22)
В этом случае 2 обращается в нуль, и уравнения (V.17) принимают вид
Один интеграл этих уравнений хорошо известен, - это интеграл Якоби
V2 = 2 ^ -+- 3rri-x- - m-z-¦+- С. (V. 24)
3. Вариационная кривая. В первом приближении орбита Луны определяется
обычно как эллипс - неподвижный или с вращающейся линией апсид.
Вращающийся эллипс имеет то преимущество перед неподвижным, что
отклонения реального движения от вращающегося эллипса носят почти
периодический характер. Вместо того чтобы относить реальную орбиту к
эллипсу, Хилл вводит в первом приближении промежуточную орбиту, которая
носит название "вариационной кривой". Посмотрим, как эта орбита
получается из дифференциальных уравнений движения.
Мы уже пренебрегли эксцентриситетом солнечной орбиты, сделаем теперь
дальнейший шаг и пренебрежем наклоном лунной орбиты к эклиптике. В этом
случае z исчезает, и уравнения (V. 23) принимают вид
w J I (V. 25)
Если траектория тела, движение которого удовлетворяет уравнениям (V. 25),
пересекает ось х под прямым углом, то эта траектория симметрична
относительно оси х. Действительно, если в дифференциальных уравнениях
переменить знаки у и т на обратные, но знак х оставить без изменения, то
уравнения не изменятся.
Аналогичный результат имеет место, если траектория пересекает ось у под
прямым углом, так как если х и ~ меняют знак, но знак у остается без
изменений, то уравнения не меняются.
Теперь очевидно, что если тело начинает свое движение из данной точки на
оси х под прямым углом к ней, с различными начальными скоростями, то оно
может достичь оси у и пересечь ее под соответственно разными углами. Если
прямой угол лежит где-то между этими углами, то мы можем заключить по
принципу непрерывности, что существует некоторая промежуточная
- 219 -
скорость, с которой тело должно пересечь ось у под прямым углом.
Если тело движется от одной оси к другой, пересекая обе под прямыми
углами, ясно, что орбита тела - замкнутая кривая, симметричная
относительно обеих осей. Таким образом, указанная кривая представляет
частное решение дифференциальных уравнений (V.25). Это решение называется
"вариационной кривой". Хотя общее решение уравнений (V. 25) включает
четыре произвольные постоянные, вариационная кривая имеет только две
произвольные постоянные, за которые можно принять расстояние тела от
начала координат при пересечении оси х и момент пересечения т0. Для
простоты мы можем за начало счета времени принять момент пересечения оси
х, т. е. положить х0 = 0. Так как х-четная функция', а у - нечетная
функция т, обе с периодом 2л, можно разложить х и у в ряды Фурье
х = А"cos " /4. cos 3"-t- A,cos 5т -+- ...,
D • D • о п ". е (V. 26)
У = В0 Sin ' -I- Вх sin О" о., sin JT -+- . . .
Когда x кратно я, у = 0; когда т нечетной кратности у, jc = 0. Кроме
того, в первом случае и во
втором - Эти условия определяют характер вариационной кривой. Необходимо
отметить, что члены с четными кратностями отсутствуют в (V. 26). Эти
члены
должны быть опущены, если х и обращаются в нуль
при т=,у,... Мы не ставим перед собой цель подробно
следовать анализу Хилла, который определяет характер вариационной кривой
с высокой степенью точности. Мы ограничимся грубым приближением, чтобы
только проиллюстрировать методику Хилла. Поэтому отбросим все члены с
кратностями больше Зт. Удобно также несколько изменить обозначения
коэффициентов.
Положим
Д0 = а0-+-а_1, А,=а.,
" с V-27)
B0 = a0 - a.lt Вх = а,.
Имеем теперь на один коэффициент меньше, чем раньше, но этого будет
достаточно, так как Ах и Вх от-
- 220 -
личаются только членами такого порядка, которыми будем пренебрегать.
Предположим также, что и а_, - малые величины. Тогда
х = (а" -+- а_,) cos х -+- cos Зх, у = (ац - а_,) sin х -t- sin Зх.
(V. 28)
Так
как
cos Зх = 4 cos3 х - 3 cos х = cos х (1 - 4 sin2 x), sin 3x = -4 sin3 x ч-
3sin x = -sin x (1 - 4 cos2 x),
то имеем
x = a0cos' -f-
no
4a. . о_П -isin x
"o J
(V. 29)
Г., iii +n.| 4a, " "1
у = a0 sin X 1---------!----1-I----------1 cos x .
L °o °o J
