Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
С помощью этих формул нетрудно преобразовать уравнения Лагранжа к новым
переменным. Так, например, японский астроном Козаи предлагает в теории
движения близких искусственных спутников Земли принять за независимую
переменную истинную аномалию. Тогда, пользуясь третьей формулой (IV. 80),
получаем уравнения Лагранжа в следующей форме: da 2 / г \2 1 dR
р = а( 1 - е2)
(IV. 78)
Подставляя в (IV. 77)
к \1т
а >/а
находим
откуда окончательно
(IV. 79)
(IV. 76) и (IV. 79),
dA _dAdt__±dA dM dt dM n dt
(IV. 80)
dA_dAdt_ dv dt dv
I2 1 dA
v'l - e2 dt
dv n-a- (1 - e2) \ a
di ctg i / r
dv л2а2 (1 - e2) \7T
ctg i [rVdR 1 / r \2 M
(1 - e'2) \ a ) di ri2u-e \ a ) de '
ctg i / г \2 d#
(1 - e2) \7Tj
(IV. 81)
л'-а2 (1 - e2) sin i \
dQ_ 1___________________________1_/
</" л2"2 (1 - e2) sin i \
l_(r_\*dR
e'2) sin i \ a J dQ '
\_jr_\2d_R
e2) sin f \ a J di '
K(
dM0 _ Vl - e2 2 dR
2 dR__________2 /r\2 dR
dv ri2a'2e \ a / de
i2e \ a / de "•>" v'l _ e2 \ a ) da
Если мы хотим по уравнениям (IV. 81) вычислить возмущения первого
порядка, то оскулирующие элементы орбиты в правых частях уравнений должны
рассматриваться как постоянные величины. Для вычисления возмущений высших
порядков эти формулы неудобны, так
как в этом случае множитель при в третьей формуле
(IV. 80) мы должны вычислять с постоянными элементами, а остальные
элементы в правых частях уравнений Лагранжа рассматривать как
оскулирующие элементы, зависящие от времени. Поэтому выведем такие
формулы, определяющие зависимость между временем и аномалиями, которые с
самого начала учитывают, что в возмущенном движении элементы орбиты
являются функциями времени.
Дифференцируя (IV. 70), мы должны теперь написать вместо (IV. 71)
получим
dt
откуда, умножая почленно на находим после некоторых преобразований
полагая
dMn ж dn и , v <М70
dt -l" dt V dt '
(IV. 84)
- 200 -
Аналогично, дифференцируя уравнение Кеплера (IV.72), получим
<lv-85>
Нам остается вывести зависимость между временем и истинной аномалией.
Условимся отсчитывать полярный угол п в формуле (IV. 77) от некоторой
подвижной оси, лежащей в плоскости орбиты, так что
Дифференцируя (IV. 86) в предположении, что элементы орбиты являются
функциями времени, получим
Так как положение оси отсчета выбрано нами совершенно произвольно, то мы
можем наложить условие
Окончательно получаем соотношение между временем и истинной аномалией в
следующем виде:
n = W + (l) + 3.
(IV. 86)
(IV. 87)
dz . dQ
dt cos 1 dt
Тогда
du dv
dt ~~dt~*~
и интеграл площадей (IV. 77) запишется так
j = fc \//п \*р (IV. 88)
или
О
(dv т [dt
dv dt "Hcos/ dvdt.
dw dv . dQ dv
'!) = k\'m\'p, (IV. 89)
откуда
dv
dt
или
'?)• <lv-92>
Подставляя (IV.84) в первую формулу (IV.80), (IV.85)- во вторую формулу
(IV. 80), (IV. 92) - в третью формулу (IV. 80), получим новые формулы для
преобразования уравнений Лагранжа к аномалиям как независимым переменным
dA_l(, dMb\dA dM~ л \ dM) dt'
dA __ 1 / ** \ /1 Q r* de fl dA t\\r ao\
dE=^b}[1-VsmETE-T^F)-dF' <IV-93> dA 1 / r \2 1 /. <fc> . dQ
\dA
dv n \ a ) y/j ei \ dv COS 1 dv) dt
Если заменить в третьей формуле (IV. 93) и их выражениями (IV. 81), то
получим
4А - - ( -f - Г1 _i (IV 94)
dv п\а) у/пгр L п202е\ а ) dejdt (1V. 'зЧ)
В тех случаях, когда ограничиваемся вычислением возмущений первого
порядка, можно применять более простые формулы перехода (IV. 80) и, в
частности, для переменной v пользоваться уравнениями Лагранжа в форме
(IV. 81).
2. Долгота в орбите как независимая переменная в уравнениях Лагранжа.
Вместо истинной аномалии можно принять за независимую переменную долготу
в орбите w, определяемую формулой
w = гл-шч-з. (IV. 95)
Тогда интеграл площадей (IV. 77)
dm к\т - / а \2 iz-5
л =- \Р = п(т) vl~e' <1V-96>
дает точную зависимость между временем и долготой в орбите. Так как
формула (IV. 96) аналогична формуле (IV. 79), то и уравнения Лагранжа для
долготы в орбите аналогичны уравнениям (IV.81)
- 202 -
da ___ 2 (r ^ 1 dR
dw л2о \ a ) v'l e- <>Mо '
de _ vT^72 / r \2 <j/?_______________]_(^\дЛ
dw n-a'te \ a ) dMn n-a-e \ o ' ()ш '
dw
t/u>
dw
di
dw
__________ctg i / r \2 dR 1 / r ^ dR
n-a'1 (1 - e2) In ' di n-a-e \ a / de *
ctgi fr\2r)R______________________1 v
n-a- (1 - e2) V a > iU n2"2 (1 - e2) A
x _]_(?.)***
A sin i \ a J dQ '
dQ ________________________________1___________________________M2[^
dw л2а2(1- e2) sin f Vo / <4 '
dMo__ (Ц\2<№____________2 (r_ -2 dR
dw л2о2е V о / de n20 VV-"ё2 \ n '
(IV. 97)
В отличие от уравнений (IV.81) эти уравнения имеют совершенно общий
характер и пригодны для вычисления возмущений любого порядка.
Угол о определяется условием
А
.dQ
- COS I -J- . dw dw
(IV. 98)
причем в начальный момент мы можем принять
з -°
J0 01
что определит положение точки отсчета долгот на орбите.
Долгота в орбите употреблялась в качестве независимой переменной многими
астрономами, например, Гюльде-ном (1841-1896), Бренделем (1862-1939),
Брауном (1866-1938) и др.
