Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
X = COS x (l- - I 16
= COS X (l-m2
1/ = sin x | '1 19
= sin x I + 3-
2
COS т I.
Тогда
dx
dx -I-1 7 9o,\
= -sin "til - jw+jm- cos' x I =
• /l.l 9 9 2 • 9 \
=-Sin X 11 +yffl-----у nr Sin-T I,
/1 7o 9o.o\
yy- = cosxII + jffl- - у m~sin- xI ==
= cosx ^1 у 77l2-l-y m2COS2xj,
(V. 65)
откуда
v°' = (? J ^ (ткг)* = sin* sin2 x) -+-
- 230 -
- cos2 x I
: (l - m!+yms cos2 x j = 1 -m2 cos -ь у /n2 cos 2x = 1 -ь у m2 cos 2x = 1
-by/ns - 7/n2 sin2 x = 1 - у m2 -+¦ 7/n2 cos2 x.
Тогда
1 W 7 в 7 ft a 4 7 о
- = 1 +Tm cos2x= 1 -
v 4 Z 4
-by/n2sin2x = l -у /n2 cos 2x.
Теперь
Ф1 rfr 1 dy
--------J-, cos(r) = -jf- ,
vdx vdx
поэтому
sin Ф = sin x (l -+- у m2 - у m2 sin2 x - |m! + -ь у m2 sin2 xj = sin x
(l - у m2 -b -by/n2sin2xj = sinx(l -y/n2cos2xj, cos Ф = cosx (l -у m2 -ьу
m2 cos2 x -ь у m2-
- у /n2 cos2 xj = cos x|l + |m2 -
- у m2cos2xj = cosx (l -by m2sin2xj,
sin 2(r) = sin 2x(l -y/n2cos2xj,
cos 2Ф = cos 2x -ь у m2 sin2 2x,
* d<t> (л 5 , 15 . . о \
coS(r)-5r=cosx 1 - у m2 -b -y m2 sin2 x I,
• ЛЧ № • /1 5 2 15 " - '
sin(r) y- = -sinxП -+- у m у тп cos x
Возводя в квадрат и суммируя, получим (тгг)* = cos2 X (1 - у /п2 -ь -у-
/п2 sin2 хj -b
- 231 -
2х-ь
!___
(V.66) (V. 67)
(V. 68)
(V. 69) (V. 70)
-+- sin2 x^l-by/n2 - Щ-пi2 cos2 xj = 1 - у m2 cos 2x,
откуда
yy = 1 - у /п2 cos 2x. (V. 70*)
Дифференцируя опять, получим </2ф 5
dz*
/п2 sin 2т. (V. 71)
Теперь мы можем преобразовать дифференциальные уравнения (V. 56) так,
чтобы в новые уравнения входили только переменные Ьр, 8s и т. Уравнения
(V. 56) принимают вид
d2bp
dz2
к <*2ф
bs-d*r =
0 dbs / dto \ .
- ^2' 8Р Г-* -ь у/n2cos2x - 2т J
- 2 ^1 -+- т - у т2 cos 2xj -
- у /п2 sin 2x8s,
rf2os
dz2
</Sp j dФ
d4s
dz2
-8s?-1 + |ma cos2t -2m J--2-^y(l-"-/n -|/n2cos2x)H у/n2sin 2x8p.
(V. 72)
Теперь мы должны заменить отдельные члены, включающие х и у, в выражениях
(V. 62), (V. 63), (V. 64)
- 232 -
дс cos Ф -+- у sin Ф = cos2 х ^1 - m2 - -|-/7i2 sin2 x --i- m2 sin2 x j -
i- sin2 x ^ 1 -4- тг -4-
3 О 9 5 9 9 \
+ -^шг cos x - m~ cos x I =
= 1 - m2 cos 2x,
-дс sin Ф i/ cos Ф = -sin x cos x ^1 - m2 -
- m2 sin2 x - m2 cos2 x j -+-
-4- sin x COS X ^1 -4- m2 -4- - J rr? cos2 X -4-
-4- - m2 sin2 xj = 2m2 sin 2x,
r2 = x2 -4- у2 - 1 - 2m2 cos 2x,
дс2 - ij1 - cos2 x(l - 2m2 - -j m2 sin2 x^-
- sin2x(l -+-2m2 + |m2cos2x) =
= cos 2x - 2m2 - |-/n2 sin2 2x,
xg = у sin 2x(l -4- m2 cos 2x),
(дс2 - i/2) cos 2Ф = cos2 2x - 2m2 cos 2x -
- m2 sin2 2x cos 2x -4-
-4- m2 sin2 2x cos 2x =
= cos 2x (cos 2x - 2 m2 -+-
-4-ym2sin22x^,
(дс2 - i/2) sin 2Ф = sin 2x (cos 2x - 2m2 -
-m2 sin2 2x - /7i2 cos2 2x^ =
= sin 2x (cos 2x - m2 -
--j m2cos22x),
- 233 -
(V. 73)
(V. 74)
(V. 75)
(V. 76)
xy cos 2Ф = у sin 2т (cos 2т -+- у т2 sin2 2т -+
+ |m2 cos2 2т j = у sin 2т (cos 2т -+ |ш! - у /и2 cos2 2т j, ху sin 2Ф =
у sin2 2т ^1 - у т2 cos 2т -ь -by т1 cos2x j =
= у sin2 2х (l - у т2 cos 2т j.
Поэтому
у (х2 - у2) cos 2Ф -ь ху sin 2Ф = у cos2 2х - т2 cos 2х -+ + |ш2 sin2 2х
cos 2х -и у sin2 2х - у т2 sin2 2х cos 2х = = y(l - 2m2 cos 2х j = у г2.
Таким образом,
1 _ 3 -Г2- у2
(V. 77)
cos 2Ф нр sin 2Ф =
= -у dfc у = -2 или -ь1. Ьр
(V. 78)
Это коэффициенты при в выражении (V. 63) для
cos Ф8 (^j-j -b sin Ф8 (^-)
и при в выражении (V. 64) для
-sin Ф8 (?) -ь cos Ф8 (± у Далее имеем
- у (лг2 - у2) sin 2Ф -ь ху cos 2Ф =
234 -
= - у sin 2т(cos 2t - -У- m2 - у m2 cos2 2xj
-4-y sin2x(
= 2 m2 sin 2x.
cos2t +jm! - y/n2 cos22x^ =
(V. 79)
Так как с точностью до членов нулевого порядка
г2 = 1, получим
cos
2Ф
1 л-2 - у2
^-sin2(r)) = 6/n2sin2x. (V. 80)
Это коэффициент при
-4-cos Ф8 (-^-) -4- sin Ф8 (-J-)
Ьр
и коэффициент при j-g- в
-sin Ф8 (-J-) -4- cos Ф8 Отсюда имеем
cos Ф8 ("рг) -+¦ sin Ф8( ^ = -2 -^у - -yy- 8s sin 2т =
= -28р (1 -+- 3 т2 cos 2т) - 6 т2 8s sin 2т - sin Ф8 (^-) -+-
-4- cos Ф8 6/n2 sin 2т -4--^- =
= -6/n2 bp sin 2т -4- 8s (1 -4- 3m2 cos 2т). (V. 81)
Эти два выражения умножаются на к в дифференциальных уравнениях (V. 56).
Другие члены, которые входят в дифференциальные уравнения: -
3/n2cos(r)8.x и
-4-3/п2 sin Ф8дг.
Ограничиваясь членами второго порядка,
3т2 8дг cos Ф = 3т2 {Ьр cos т - 8s sin т) cos т =
= у т2Ьр (1 -4- cos 2т) - у m2bs sin 2т, 3т2 Ьх sin Ф = 3т2 {Ьр cos т -
8s sin т) sin т =
= у т2 Ьр sin 2т - у m2bs (1 - cos 2т).
- 235-
(V. 82)
Так как
к = 1 -+- 2т -+- -у т2,
имеем
к cos Ф8 j -+- к sin Ф8 j - 3m2 bx cos Ф =
= -2о/> (l -+- 3m2 cos 2т -н 2m -н у m2 j - 6m28s sin 2т -
- -у тЧр (1 -+- cos 2т) -+- у m28s sin 2т =
= -28р j^l -+- 2m +|m2 + ym2cos2т] -
- у m28s sin 2т, (V. 83)
-к sin Ф8 j -+- k cos Ф8 (-Д-j -+- 3тЧх sin Ф =
= -6т2 8р sin 2t-h8s(i -+- 2т + |тг cos 2т j -+--+-у тЧр sin 2т - 8s(у т2
-у m2cos2xj =
= - у тЧр sin 2т 4-8s(l -+- 2m + |m! cos 2т j. (V. 84)
Поэтому первое уравнение (V.56) преобразуется в - 8/>[^1 -н2т - у
m2cos2x] -
- 2 |l + m - у т2 cos 2xj - у m28s sin 2т -
- 28/> ^1+2т + |тг + утг cos 2т]-
- у m4s sin 2т = О (V. 85)
- 236 -
