Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
3. Пертурбационная функция. Ограничимся в пертурбационной функции, как
и раньше (§§ 2 и 3), только членом
/? = ^V/(i-sine-S), (IV. 99)
который зависит от первой степени сжатия планеты. Так как
sin о = sin i sin (v -+- <o),
- 203 -
Разобьем выражение (IV. 99) на два
R = Rl + R2, (IV. 101)
где /?, - вековая часть пертурбационной функции, /?2- периодическая. Для
получения вековой части пертурбационной функции мы должны осреднить по
времени (или, что тоже, по средней аномалии) выражение пертурбационной
функции R. Используем для этого следующие формулы:
(ТУ1=^г1 (у)'
(r)_ ___________ (IV. 102)
(~) sin2u = ^^ cos2v = 0.
Тогда
Я, = я = k*m^J(1 -lsin'i)(l -е2)-Ч (IV. 103)
а периодическая часть пертурбационной функции будет иметь следующее
выражение:
X {1 - (у)' (1 - с5)-'"} -+- \ ¦"•* I cos 2 ("¦+• •)]. (IV. 104)
4. Периодические возмущения. Введем в качестве независимой переменной
истинную аномалию спутника и запишем уравнения Лагранжа в форме (IV. 81).
Интегрирование этих уравнений в предположении, что в правых частях
элементы орбиты заменены постоянными величинами, дает нам возмущения
первого порядка а = о0 -+- Sjd -+- 8 2а,
в = е0 -+- 8,е -+¦ S.,e, (IV. 105)
где л0, еи, ¦ .. - постоянные интегрирования, которые должны быть
определены из наблюдений; о,а, 8,е, ... - вековые возмущения спутника и
82а, Ъ^е, ... - периоди-
ческие возмущения. Отметим, что пертурбационная функция не содержит
элемента ?2, потому периодические возмущения наклона орбиты могут быть
получены по формуле
0,1 = ¦
Окончательные выражения для возмущений для всех шести элементов имеют вид
820=v /! т i1 -1sin2 0 {(f)3-
- (1 - sin2 /cos2(v
^ 5Г J[t 0 - T "n2 *) {(f)3-
- (1 -e2)~/,}H-y(f) sin2/cos2(v-i-ci))J -
- ^ J {cos 2(D + (o) + e cos (v -+- 2u>) -+-
-н-g-e cos (3v -+- 2<e)}.
е2<0 - ~iJ ?(2-sin2 ij(v - M-t-e sin v)-t--+- (l - у sin ij (l - i e2)
sin d + h--j sin 2v -+- -| sin 3vj-~ {^ sin2 / -+-н-^-j-jg sin2 e2} sin
(v-t- 2u>) -+--f- ^ sin2 / sin (v - 2w) - у (l - у sin2 /) X X sin 2 (v -
+- (о) -+- -i- jjg sin2 / -
-T 0 - ? si"2 ') *2} sin (3" -+- 2".) -+- (IV 10?)
3
H- -g- sin2 / sin (4v -+- 2">) -+-sin2 / sin (5u -+- 2<o)J,
- 05 -
8.2/ = -j- jj_ / sin 2/ | cos 2 (1" -+- o)) -
-1- ecos(v -+- 2<o) -h.j cos (3v -+- 2o))|,
or^ f
822 = - -jp J cos 1 |v - M-+- e sin v -
-Y sin 2 (v -+- <o) - -j s'n (v 2") -
- Y sin (3v -+- 2<o)|,
/\/r=V [-(1 -jsin2 /) X X j(l -x)s*n sin 2v -H^sin 3v| -1-
-+- sin2 / j-j- ^1 -+- e2J sin (v -+- 2<d) -
-g sin (v - 2o.) -1 (1 -g) X
X sin (3v -+- 2<u) - -g- e sin (4v -1- 2">) -
-fgsin(5v4-2"))}j ,
где p = a( 1 -e2).
Выражения (IV. 107) в отличие от (IV. 36) не являются разложениями по
степеням эксцентриситета, а являются замкнутыми выражениями как
относительно наклона орбиты (sin /), так и относительно эксцентриситета
(е). Эти формулы были получены японским астрономом Козаи в 1959 г. при
разработке им теории движения близких спутников Земли, однако они имеют
общий характер и могут быть использованы для изучения движения любых
естественных спутников в солнечной системе.
5. Вековые возмущения. Подставляя в (IV. 81) /? = /?], получим после
интегрирования вековые возмущения орбиты спутника в виде
оа2 = --^-/n/cos/,
si"тsin21)' оЛ = -^Г Jnt (! - у sin2') V;1 -e1-
(IV. 107*)
206
Эти формулы идентичны формулам (IV. 47). Система формул (IV. 107)-(IV.
107*) дает возможность получить возмущенные элементы орбиты, по которым
затем вычисляются планетоцентрические координаты спутника.
§ 5. Гравитационное поле Зеили
1. Общее выражение для гравитационного потенциала Зеили. При
построении точной теории движения близких спутников Земли нельзя
ограничиться приближенным выражением для потенциала Земли в форме (IV.
24).
Гравитационный потенциал Земли на внешнюю точку, находящуюся на
расстоянии г от центра Земли, может быть выражен в общем виде через
сферические функции следующим образом:
u=^-{i -*-22 (?)" cos тк
I м=1 т=о
н- dnm sin ml) Рпт (sin 6) J . (IV. 108)
В этой формуле /А/-масса Земли, умноженная на гравитационную постоянную;
эта величина имеет размерность (см)3 (сек.)-2; а0 - экваториальный радиус
Земли; сшп и dnm - безразмерные числовые коэффициенты, характеризующие
гравитационное поле Земли; г, t{i, I - сферические координаты точки, в
которой определяется потенциал U. Координатные оси выбраны следующим
образом: начало координат О находится в центре масс
Земли, угол '¦!> ^ -j отсчитывается от экваториальной
плоскости Земли, угол 0 ^ I ^ 2я отсчитывается от начального меридиана.
Сферической функцией степени п называется тригонометрический многочлен
П
Smn (Ф. Ц = сЛ (sin ф)-1-2 (с"т cos ml -+-
m=l
d"m sin ml) Pnm (sin <}*), (IV. 109)
где P"0 (л) - многочлен Лежандра степени n, P"m (jc) - присоединенная
функция Лежандра степени п и порядка т.
- 207 -
Многочлены Лежандра определяются так называемой формулой Родриго
РМ=2Ът?г{х"---1У, (IV. 110)
в частности
Р<ю(х) - 1,
Р10(х) =
Р*о(х) = |(Эдг'- -1).
