Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
dl 1 OR I OR h ctj i OR
dt
dQ
dt
na2 Oh cosec i OR
2na2 0\o na2 Oi
na1
Oi
(IV. 59)
13 Г. А. Чеботарев
- 193 -
di
dt
dh________
dt
cosec i dR_|_cty i ^ dR ^ dR ^ i)R ^
dQ
dh
dl
dlо Г
_________2 dR 1 /,
na da 2na2 \
dA '
. d?\ cty i dR
dl) na2 di
Полученные уравнения пригодны для вычисления возмущений элементов при
любых сколь угодно малых эксцентриситетах.
2. Преобразование пертурбационной функции. Для
преобразования пертурбационной функции к новым переменным нам понадобятся
следующие соотношения:
е sin М-е sin (X - со) = Z sin X - Л cos X, е cos М=е cos (X - со) = /
cosX -+- A sin X, e sin (М-л- 2co) = e sin (X -+- со) = Z sin X -+- A cos
X, e cos (M-+- 2<o) = e cos (X + ">) = / cos X - A sin X,
(IV. 60)
Ограничиваясь в пертурбационной функции первыми степенями
эксцентриситета, получим после перехода к новым переменным
/?! = JkzTn-^{\ --|-sin2z)(-|--i-ZcosX-"-AsinX^-t-
-+- Jk2m 2-jj- sin2 / (- -j-Z cos X ч- -j- A sin X ч-
-+- ycos 2Хч-/ cos ЗХ-н-j-Asin3X^. (IV. 61)
При вычислении возмущений элементов А и / нам необходимо учесть в
пертурбационной функции также и члены второй степени относительно
эксцентриситета. Аналогично предыдущему находим
Rt = 1 Jk'm ? (l - * sin2 i) [| (A2 ч- Z2) ч-
-+- у (Z2 - A2) cos 2X ч- 9AZ sin 2X] -+-
-t--j Jkzm ^j-sin2 /' - -j (A2 ч- Z2) cos 2X ч-
-+- Ц (Z2 - A2) cos 4X ч- 17AZ sin 4x]. (IV. 62)
- 194 -
Так как 2 не входит явно ни в Rlt ни в R." то
(я)-*
3. Возмущения первого порядка. Вычисляя производные пертурбационной
функции по элементам и подставляя полученные выражения в (IV. 59),
получим после интегрирования следующие формулы для вычисления возмущений
первого порядка элементов орбиты спутника с точностью до первых степеней
относительно эксцентриситета или, что тоже самое, относительно А и /:
у = 2/(у)2(l - у sin2 /j (Z cos X -t- A sin X) -+--t- /(y) sin2/^-yZcosX-
t-y A sinX-t--+- cos 2X -t- у I cos 3X -t- у A sin 3X j, оh-J^y j ^1 - у
sin21 j |^ZnZ -t- sin X -t-
-+- у Z sin 2X- у Acos2XJ - у / ^y j sin2 /X
t7 17
sin X - у sin 3X -+- 51 sin 2X -^ I sin 4X -t-
-+- у h cos 4X-t-A cos 2X J -t- /^y) cos2 i X
X (int - у Z sin 2xj,
о/ = /(y) -Т8*п2/)Г-httt -t-cosX-t-
2X-t-y Asin2X*]- у J ^y j sin2/X
cos
X J"-cos X - у cos 3X - 5A sin 2X -
- у Z cos 4X - у A sin 4X -t- Z cos 2X J -+--+- /(y )2 cos2 i j"-hnt -+-
у sin 2X J ,
52 = -/(y) cos i -t- у Z sin X - у A cos X -
- у sin 2X - у Z sin ЗХ -и у A cos 3X j,
- 195 -
(IV. 63)
13*
Возмущенные элементы орбиты могут быть теперь вычислены по формулам
где А, В, С, D - известные постоянные коэффициенты при вековых
возмущениях; 8,а, 8,г, 8, Л, 8,/, 8,2 и 8,Х0 содержат только
периодические члены, а а0, /0, Л0, /0, 20 и Ш - шесть постоянных
интегрирования.
Назовем
а = а0-*~ о,а,
/ = /0ч-8,/, h = hQ + At -I- 8,A, I - /q + Bt + 8 ,/,
(IV. 64)
2 = 20 + Ct + 8,2,
4 - \> (4>) 8,X0,
a = a",
I = /'0.
A - Aj + ^4^, l = l0-*~Bt,
(IV. 65)
s=2o4-a,
(*o) Dt
средними элементами орбиты для момента t.
Тогда для вычисления возмущенных элементов получим следующие формулы:
Элементы а, /, А, I, Хи называются оскулирующими элементами орбиты на
момент t.
4. Вычисление координат спутника. При вычислении координат спутника
удобно ввести вместо Х0 непосредственно долготу в орбите для момента t
Вводя в (IV. 67) выражение для - из (IV. 63) и интегрируя, получим
Полученные возмущенные элементы орбиты могут быть теперь использованы для
вычисления возмущенных планетоцентрических прямоугольных координат
спутника.
Для этого служат формулы (IV. 10)-(IV. 11) и соотношение
(IV. 66)
X = Х0 -+- J rindt = Х0 - у у J badt. (IV. 67)
(IV. 68)
-+- ^ / sin ЗХ j -+- ¦ j cos2 sin X -
-I-A cos X -s- sin 2X -g- / sin 3X -+-
Л/=Х - to, - 197 -
(IV. 69)
где X вычисляется по формуле (IV. 68). Формулы § 3 использовались в
Институте теоретической астрономии для обработки визуальных наблюдений
искусственных спутников Земли.
§ 4. Истинная аномалия как независимая переменная в уравнениях Лагранжа
1. Аномалии как независимые переменные в уравнениях Лагранжа. Иногда
может оказаться удобным принять за независимую переменную в уравнениях
движения не время, а невозмущенные среднюю, эксцентрическую или истинную
аномалию.
Переход от времени как независимой переменной к аномалиям осуществляется
с помощью формул, вывод которых не представляет затруднений.
Дифференцируя по времени соотношение
п (/ - /"), (IV. 70)
получим
"="• (IV. 71)
Аналогично, дифференцируя по времени Кеплера,
Е - esin Е=М,
находим
dE cdE dM
dt e<*>sEdt - dt
или
dE. 1 p.
j?-(l -ecos E) = n,
откуда
dE n
dt 1 - ecos E '
Так как
r = a(l -ecos E), имеем окончательно
dE (a\
dt-n\T)'
- 198 -
уравнение (IV. 72)
(IV. 73) (IV. 74) (IV. 75)
(IV. 76)
Наконец интеграл площадей в задаче двух тел дает
г* = (IV. 77)
где т - масса планеты, масса спутника равна нулю, и
Таким образом, зависимость между временем и аномалиями устанавливается с
помощью формул (IV. 71),
Обозначая любой из шести элементов орбиты буквой А, мы можем написать
