Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
-+-Aq2 {cos [(с -I- 4) t -+- e] -+-
-+-cos[(c -4)*н-е]}=0. (V. 105)
¦|(j Г. А. Чеботарев - 241 -
Мы можем теперь перейти к дальнейшим приближениям. Член вида cos(cl-f-e)
вызывает появление в решении членов вида cos[(c±2)#H-e] и cos [(с ± 4) t
в], а члены вида cos [(с ± 2) t -+- е] и cos [(с ± 4) /н-е] вызовут
появление в решении новых членов вида cos(c/ + e), т. е. членов точно
такой же формы, как начальный принятый нами член.
Поэтому, чтобы получить окончательный результат, проще всего прямо начать
с предположения, что решение имеет форму ряда, содержащего члены вида (V.
104).
Различные авторы нашли удобным введение вместо тригонометрических
экспоненциальных функций. Следуя их примеру, будем поэтому писать
дифференциальное уравнение (V. 95) в форме
+00 ________
'^ч-хУд<Е2"',-1=0, (V. 106)
где q_( = q{ и искать решение в форме
+0О ___
*=2^?(e+2-'')'v'_1 ' (V. 107)
-00
где коэффициент А и величина с будут определены приравниванием
коэффициентов при одинаковых степенях Е1^. Подставляя выражение (V. 107)
для х в дифференциальное уравнение (V. 106), получим
+00 +00 __________________________________
- 2 (сч-2у)Му?(е+глл _) -+¦ 2 AjE{e+2J)l V"1 X
-00. -00
+00 .
х2?Г'-'=0. (V. 108)
-00
Приравнивая нулю коэффициент при ?(е+2Л'у,~11
- (с 2jf Aj -+- Ajq0 -+- Aj^ -+- Aj_2q2 -+- Aj_3q3 -+-
Aj+i4-i Aj+гЯ-г -+¦ Aj+зЯ-з -*-¦¦¦ - 0. (V. 109)
- 242 -
Поэтому последовательность уравнений такова:
• -+- fao - (с - 4)21 A-i ¦+¦ "7-И-1 ¦+¦ Ч-гЛ -+¦ -+¦ 9-ъА1 ¦+¦ Ч-*А2
=0,
¦ -+¦ чИ-s [Чо - (с - 2)2] ^4-1 Ч-Ио
-+- Ч~2А1"+" Ч-3А2 -0,
• Чг^-г ЧИ1 [Чо - fi2] ^о Ч-iA
+ <7-2^2 * ' ' ===
• чИ-* 42^4-1 Ч\Ао [Чо - (с 2)2] X
х Ai~*~q~iAz-*~. •. = о,
• ¦+¦ Я\А-2 Чз^4-i ЧъАо Ч\А\
-"-[Чо - (с-"-4)2]Л2-1- ... =0,
или
Очевидно, что мы получили бесконечный определитель для нахождения с. Если
возьмем только три колонки и три столбца в этом определителе, то
[Чо - (с - 2)2] [</0 - с2] [</о - (с -+- 2)21 - q\ [9о - (с - 2)2] -
- 4i [Чо - (с 2)2] - q\ (<7о - с2) -+- 27?72 = 0 (V. 111)
[(Чо - с2 - 4)2 - 16с2] [<70 - с2] -
- 1q\ (q0 - с2 - 4) - q\ (q0 - с2) -+- 2qlq2 = 0. (V. 112) Если отбросим
(^0 - с2)3, которое мало, то
[-8 (Чо - с2) -+-16 -+¦ 16 ("/о - с2) -16"70] X X [Чо - с2] - (Чо - с2)
Рч? ¦+¦ ЧИ ¦+¦ 8ч2 -+¦
-t-2q21q2 = 0,
8 (Чо ~ с2)2 -+- (Чо - с2) (16 -14 - 2(7? - "/I) -+-
-t-8q\-*-2q\q2 = 0,
(Чо - с2)2 -+¦ 2 (Чо - с2) (l - Чо - у 4i - ^ Ч2) -"
¦ 4? -н -j - 0.
(V. 113)
Так как q\, <72 малы по сравнению с 1 -Чо и Чг мало по
- 243 -
16*
сравнению с единицей, имеем как грубое приближение (с2 - д0)2 -*-2(<7о -
1)(с2 - q0) = -ql (V. 114)
откуда
с2 - <7" = - (<7о - !) ± n/(^0 - I)2 - (V. 1151
с2=1 ± \J(q0 - l)2 - ql-
Так как c2 = q0, если ^ = 0, то берем только положительный знак и
получаем окончательно
с=У1-н\/(<70-1)2-<7?. (V.116)
Это значение для с удивительно близко к точному значению.
4. Интегрирование уравнений для 2р и 2s. Вернемся теперь к теории
движения Луны и рассмотрим решение нашего дифференциального уравнения (V.
92) для 8р. Положим
Ьр = /1_] cos [(с - 2) т -н е] -н /40 cos (ct + е) +
¦+- Аг cos [(с -н 2) т -н е]. (V. 117)
Подставляя в (V. 92), получаем
i4_j ^1 -н 2т - у тг - 15m2 cos 2т) - (с - 2)2 J X
X cos [(с -н 2) т -н е] -н А0 ^1 -н 2т - |ш!-
- 15m2 cos 2т j - с2] cos (ст + е) +
-+- /Ij ?(l -+- 2т - у m2-15m2 cos 2т)- (с-н2)2J X
X cos [(с-н2) т-не] = 0. (V. 118)
Затем приравниваем нулю коэффициенты при различных косинусах. Первый
косинус cos (ct -не) дает
-у лА4_, -н Aq ^1 -н 2т - -j m2 - с2) -
- ут2Л0 = 0, (V. 119)
- 244 -
второй косинус cos [(с - 2)т-|-е]
Л_, [l -+- 2т -1 т2 - (с - 2)2]-Ц т2А0 = О, (V. 120) третий косинус cos
[(с + 2)т + е]
-утМо + ^^+гт -|тг-(с + 2)2] = 0. (V. 121) Если отбросим члены с т2,
уравнение (V. 119) дает с2 =l-i- 2т, (V. 122)
откуда
с=1ч-т, с - 2 = -(1-т), c-*-2 = 3-t-т. (V. 123) Уравнения (V. 120)-(V.
121) сводятся к следующим: 2тА_1 = 0, Ах (-8 -+- 2т) = 0, (V. 124)
отсюда следует, что при А_г по крайней мере порядка т и А1 - по крайней
мере порядка /п2. Так как мы пое-небрегаем степенями выше т2, то
уравнение (V. 129) сводится к
Д,(1-|-2т - у/n2 - с2) = 0, (V. 125)
так что
с2 = 1 -+- 2т - у т2 (V. 126)
или
1 3 ,
с = 1 + га - у m ,
отсюда
(с - 2)2 = fl - т -+- 4- тЛ = 1 - 2т -+- 4- тг,
• . <v-127>
1 -+- 2т - y - (с - 2)2 = Ат - 3 т2.
Поэтому уравнение (V.120) принимает вид
А_, (Ат - 3т2) = Щ т2Ай. (V. 128)
- 245 -
Так как А_х порядка т, то член - 3/пМ_г порядка т3 поэтому может быть
отброшен. Отсюда
4яД.1 = |т"Л (V. 129)
или
А ! = Ц тА0.
Таким образом мы можем получить А_х только с точностью до членов первого
порядка. Уравнение (V.121) принимает вид
- Ц тгАц-t-Ax[l - 9] = О (V.130)
или
А^-Цт'Ао. (V. 131)
Как мы уже видели, можно получить А_х только с точностью до членов
первого порядка; поэтому бесполезно сохранять члены более высокого
порядка в Ах. Итак, наше решение окончательно имеет вид
А_х = jmA0, Л! = 0,
отсюда
ор = А0 {cos (rf-t-e)-t-jm cos [(с - 2)т-не]|. (V. 132)
