Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
или
- 8р^3-н 6т + |т!+5т(r) cos 2т j-
- - у/п2cos2т^- 7m28ssin2x = 0. (V.86)
Это первое из уравнений (V.56) после преобразования. Второе уравнение
(V.56) преобразуется так:
-+- 8s (-1 - 2т -н т2 cos 2т j -н -н 2 -^-(l т - у т2cos 2xj-+-y тгЬр sin
2х -
- у тЧр sin 2т -н 8s(l -н 2/п -н у т2 cos 2xj = 0. (V. 87) Поэтому
-+- 7m28s cos 2т -и 2 |l+m -у macos 2xj -
- 2m2 bp sin 2t = 0. (V.88)
Это второе уравнение после преобразования. Интеграл Якоби (см. (V. 62))
дает
dbs </Ф ЗтРхЬх к Г" / л •
¦5ГН_^"5Г = -^-------------^ cos(r) н-*вшФ) н-
-н 8s (-х sin Ф -н у cos Ф) J = Зт2 cos х (8р cos т - 8s sin т) -
- (l -н 2m -н у т2-у т2 cos 2т -н Зт2 cos 2т j X X [8/" (1 - т2 cos 2т) -
+- 2т2 8s sin 2т] =
= ?у- 8р (1 -н cos 2т)--5yl 8s sin 2т - Ьр (l -+- 2т -н
-Ну m! + |m2 cos 2т - т2 cos 2т ^ - 2m2 8s sin 2т =
= -Ьр (l -н 2 т - у т2 cos 2т j - у т2 8s sin 2т. (V. 89)
- 237 -
Подставляя для уу его значение (V. 70*), получим ¦уу - -Ьр (l -+- 2/п - у
/П2 cos 2т j -
- bp (l - у т2 cos 2т j - у /n28s sin 2т =
= -Ьр {2 -Ь 2/71 - у /П2 cos 2тj -
- у /n28s sin 2т,
2 = -48/7 (l -+- /71 - у т2 cos 2т] -
- *7 tn2os sin 2т,
2 уу (l -ь /71 - у т2 cos 2т] =
= 43/7 (l -b 2/71 -ь /П2 у /7l2COs2Tj----------
- 7/7i28s sin 2т,
2 yjy (l -+- /71 - у m2 cos 2т| -ь 7/n2 8s sin2T =
= -48/7 (l -ь 2m -ь m2 - у m2 cos 2tj.
Последнее выражение из (V. 90) может быть использовано для исключения -jy
из (V. 86). Подставляя, получим
-уу--ь8/7 ?-3 - 6т - у т2 - 5т2 cos 2т -ь 4 -ь
-ь8/п-ь4/п2 - 10/n2cos 2т] = 0 (V. 91)
(V. 90)
или
-у^--ь8/7^1-ь2/п - у т2 - 15/n2cos2Tj;=0, у- = -28/7 (l -ь т - у т2 cos
2тj - у m4s sin 2т.
(V. 92)
Если продифференцируем второе уравнение (V. 92), которое, как мы помним,
было выведено из интеграла
- 238 -
Якоби и поэтому включает наше второе дифференциаль-
ное уравнение (V. 88), получим
^2 -+- 7m4s cos 2т -+- -j тг sin 2т ^- -+-+ 2|l + m - Т cos^х) "<F' s*n
2" = О
dbs
и, исключая "
-+- 7m28s cos 2т - 7тЧр sin 2т -+-
-н 2 ^1 -I-т - -^-m2 cos 2т j -+- ЬтгЬр sin 2т = О (V. 93)
или
-+- 7m2 os cos 2т -+- 2 (l +ш -Tm2cos^)"^-
- 2m2 8/> sin 2т = 0. (V. 94)
Это и есть, как и можно было ожидать, наше второе дифференциальное
уравнение, которое было найдено выше (см. (V. 88)). Поэтому мы можем
ограничиться в дальнейшем только уравнениями (V.92).
3. Уравнение Хилла. Дифференциальное уравнение для Ьр принадлежит к
типу дифференциальных уравнений, имеющих большое значение в
математической физике. Можно записать это уравнение в форме
^2 (Чо 2<7i cos 21 -н 2q., cos 4/ -.. .) x = 0, (V. 95
где qw <7j, q2, ... - постоянные, зависящие от возрастающих степеней
малой величины т. Уравнение (V. 95) называется уравнением Хилла.
Требуется найти такое решение этого уравнения, чтобы х оставалось малым
для всех значений t. Применим для решения метод последовательных
приближений.
Пренебрегая qlf q2, .. ., получим, как первое приближение,
х = А cos(t vVo-1-6)- (V. 96)
-23)-
Подставляя это значение для х в член, который умножается на qx и
пренебрегая q2, qv ..., получим
-н q0x -+- 2Aql cos 21 cos (t \'q0 -+¦ e) (V. 97)
или
Чох АЧ\ I cos [t (\lq0 +2) + e] +
-4-cos [/(^,-2)-.]) =0. [<v. 98)
Решая это уравнение обычными способами, получим второе приближение
х - А jcos
^ qy cos [* (^Яо + 2) + е] <ytcos [f у'ур - 2)-не]| -у gg.
4(^0-Ы) 4(^ - 1) }'
Опять используя это решение, получим дифференциальное уравнение
^ -+- Чох -+¦ A4i 1 cos 0 (v^ + 2) + е]+
-4- cos [t (v^^o - 2) - e3J
H_4(v'Jll) ^C°S ^ ^ + 4) + (r)] +
/ /- м Ая\
-4-cos (^9,-4-S)}--(v,-_l)X
X (cos (t \/q0 -4- s) -+- cos [t (V<T0 - 4) -4- e]} -+--4- Aq2 (cos [t
(\/q0 + 4)+s] +
-4-cosO(\/?0-4)-4-e]}=0. (V.100)
Это уравнение включает члены вида Bcos(t V^o-1-(r))' поэтому после
интегрирования в решении появятся члены вида
Cfsin(f V^o-1-(r))'
Но эти члены уже не являются малыми при возрастании t.
Будем поэтому искать решение в другой форме. Предположение, на котором
базировались последовательные
- 240 -
приближения, состояло в том, что период главного члена х зависел только
от q0 и не зависел от qx, q2, ¦ ¦ ¦ Появление вековых членов заставляет
нас пересмотреть это предположение и принять за первое приближение
X = A cos (cty/q0-t-e), (V. 101)
где с приблизительно равно единице и будет определено таким образом,
чтобы, если это возможно, избежать появления вековых членов. Однако
удобнее написать первое приближение в форме
х = A cos (ct -+- е), (V. 102)
где с приблизительно равно \/q0•
Подставляя это значение для х в член, включающий qx, получим
сРх
#2 ¦+"<70*А-Ч\ {cos[(с2) t-+-s]-+-
-"-cos[(c - 2)7-1- е]> = 0. (V.103)
Второе приближение имеет вид
х = A cos (ct -+- е) -+- (сч_2)ъ - д0 cos Кс ^)t (r)]
(с -1)2 - д0 cos [(с - 2) f е]. (V. 104)
Переходя к следующему приближению с этим значением х, получим
^ ¦+" Чох A4i {cos [(с -+- 2) t -+- е] -+-
-I- cos [(с - 2) t -+¦ е]) -+- (с 2 ^ X
X (cos [(с -I- 4) t -I- е] -+- cos (ct -+- е)) -+-Aq\
"*¦ (с-2)*-<7о ^COS (Ct
-+- cos [(с - 4) / -"-е]} -+-
