Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Р'М (х) = 1(5^- -Зл),
Pi0{x) = 4<35** - 30*г + 3),
РгЛ (х) - 1 (63лг! - 70л3 -•-15*),
(IV. 111)
Присоединенная функция Лежандра определяется формулой
" d'"P"о (л-) /1\/ 11 о\
Р",п (*) = (1 - ху -d^~ • <IV*112)
Для каждого целого положительного п существует система 2л -+-1 линейно
зависимых сферических функций степени п. В качестве такой системы можно
выбрать функции
P"o{sm^), (IV. 113)
cos nikPmn (sin ф), sin m^P",n (sin (}<), (IV.114)
cos лХР"" (sin 6), sin nkP,m (sin •". (IV. 115)
Функции (IV. 113) называются зональными сферическими функциями, функции
(IV. 114) - тессеральными сферическими функциями и функции (IV.115)-
секториаль-ными сферическими функциями.
2. Потенциал Зеили, снннетричной относительно оси вращения. Если
считать распределение масс внутри Земди симметричным относительно оси
вращения, то потенциал Земли (IV.108) принимает более простой вид
и=Ж {1 +<,"(?)*/>" + ""(?)* р"_ь ...}, (IV. 116)
т. е. в разложении остаются только зональные сферические функции.
Отметим, что асимметрия северного и
- 208 -
южного полушарий Земли характеризуется нечетными зональными функциями.
Коэффициенты с*, - безразмерные параметры, полностью определяемые массой
Земли, уровенной поверхностью, заключающей эту массу, и угловой скоростью
вращения Земли.
Иногда, следуя Джеффрису, вместо с2й и с40 вводят параметры
J - ~о С'>0>
(IV. 117)
и- g с40.
Ограничиваясь в (IV. 116) первой степенью сжатия Земли, получим
*/=*г{1+ <*(?)• Ря} (IV. 118)
или, подставляя выражение (IV. 111) для Pw
U=&-{l н-сж(2")#4-(Звш*ф - l)j. (IV. 119) Переходя к постоянной
Джеффриса, можем написать
и=Щ- {1н- у у (?)*(1 - з sin2*)]. (IV. 120)
Таблица 37
Постоянные, характеризующие гравитационное поле
Земли (1961)
М==т . fM - k-m
"0 • • •
i ... .
О) ...
с20 . • •
с30 • • • С40 . . .
У • • • D . . .
1:332490 398600 км* сек.-*
6378.15 км 1:298.2 ±0.2
-ЩШ9-^729212-10--1082.3 • 10-е 2.3 • 10-0 2.1 • 10-0 -+-1623.4 • 10-0 9.2
• 10-*
рад.
)4 Г. А. Чеботарев
- 209 -
Заменяя обозначения fM на kzm, а0 на а\ 0 на о, получим выражение для
потенциала Земли в форме (IV. 24)
?/=^H-j/^f(l -3sin26). (IV. 121)
Параметр J может быть вычислен по теоретической формуле
(IV. 122)
где е - сжатие Земли, а <в- угловая скорость вращения Земли.
Приведем в заключение некоторые числовые параметры, характеризующие
потенциал земного притяжения (табл. 37 и 37*).
Таблица 37 *
Постояннее, характеризующие гравитационное иоле Земли (Козаи, 1964 г.)
fM
"и
|
1
398603.2 км-сек. -
6378.165 км
1082.645 10-"
-2.546 ю-"
-1.649 ю-"
-0.210 10-е
-f-0.646 ю-e
-0.333 10-6
'Г
t
Jf-
Jjt
Jli
-0.270 10-6
-0.053 10-6
-0.054 ю-6
-1-0.302 ю-6
-0.357 10-6
-0.114 ю-6
-ьО.179 ю-6
Примечание. = -c;0. h - -"м. Ji - -*" •
Г лав а V ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ
§ 1. Метод Хнлла. Первое првблвжевве
1. Зеиля-Лува как двойная планета. Если бы Луна двигалась в
одиночестве по гелиоцентрической орбите, теория движения Луны могла быть
легко построена обычными планетными методами.
Однако рядом с Луной, на расстоянии всего 0.0026 а. е., находится Земля,
которая по массе в 81.30 раза больше Луны и потому существенно возмущает
ее движение по гелиоцентрической орбите. Эти возмущения, очевидно, имеют
совсем другой характер, чем обычные планетные возмущения, и не могут быть
получены методами, пригодными для вычисления планетных возмущений.
С другой стороны, масса самой Луны достаточно велика, чтобы вызвать
значительные возмущения в гелиоцентрическом движении Земли. Центр тяжести
системы Земля-Луна находится на расстоянии 4672 км от центра Земли.
В этом отношении система Земля-Луна может справедливо рассматриваться как
двойная планета.
Для сравнения напомним, что в системе Нептуна и его спутников масса
наибольшего спутника (Нереиды) в 770 раз меньше массы Нептуна, а в
системе Сатурна масса наибольшего спутника (Титана) в 4030 раз меньше
массы планеты. Наконец, масса наибольшего спутника Юпитера (Ганимеда) в
12200 раз меньше массы Юпитера.
Примечание. Вместе с тем необходимо помнить, что масса Гаиимеда (III
спутник Юпитера) в 2.11 раз больше массы Луны, масса Титана - в 1.92
раза, масса Тритона - в 1.8 раза, масса Калисто (IV спутник Юпитера) - в
1.32 раза и масса Ио (I спутник Юпитера) равна 0.99 массы Луны.
- 211 -
14*
Особенностью движения Луны является также и то обстоятельство, что ее
орбита расположена целиком вне так называемой сферы притяжения Земли (см.
главу VI, § 3), т. е. за пределами той области, где притяжение Земли
превышает притяжение Солнца. Действительно, нетрудно рассчитать, что
ускорение, сообщаемое Луне Солнцем, в среднем равно
о>, = 0.000296 а. е./сутки,
а ускорение, вызываемое притяжением Земли, равно
н>2 = 0.000136 а. е./сутки.
Таким образом, притяжение Солнца в 2.18 раз больше, чем притяжение Земли.
Современная теория Луны основана на работах выдающегося американского
небесного механика Джорджа Хилла (1838-1914).
Мы изложим в настоящей главе метод Хилла в несколько упрощенной форме,
