Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку наиболее удовлетворительным способом записи уравнения Дирака является аппарат спиноров, изложение начинается с краткого обзора спинорного анализа и описания спи-норного базиса в формализме Ньюмена — Пенроуза в объеме, необходимом для дальнейшего.
102. Спинорный анализ и спинорный базис в формализме Ньюмена—Пенроуза
4-вектор в пространстве Минковского может быть также представлен эрмитовой матрицей, а унимодулярное преобразование в комплексном двумерном пространстве (см. уравнения (10) и (11)) индуцирует преобразование Лоренца в пространстве Минковского. Так возникает понятие спинора.
Рассмотрим точку Xі (i = 0, 1, 2, 3) в пространстве Минковского, и пусть
(а:0)2 — (а:1)2 — (а:2)2 — (л;3)2 = 0. (1)
Запишем теперь координаты точки Xі через два комплексных числа I0 и I1 и и два комплексно-сопряженных к ним числа I0 и I1' следующим образом:
XO = + (1//2) (E0I0' + E1I1'), X1 = + (1//2) (I0I1' + E1Io'),
*2 = - (t7/2) (E0Ii' - E1I0'), *3 = + (1//2) (E0I0' - E1I1')-
102. Спинорный анализ в формализме Ньюмена—Пенроуза
247
Обратное преобразование имеет вид
I0I0' = (11/2) (х« + х% ?o|i' = (1 / у 2) (Xi + ix%
I1I0' = (1//? (X' - /х2), = (1/у 2) (х» - X3).
В силу этих уравнений получаем (х0)2 — (х1)2 — (х2)2— (х3)2 =
= (х° + X3) (X0 — X3) - (х1 + гх2) (х1 - /х2) =
= 2 (E0I0'^1!1' - S0I1^1I0') = о. (4)
Таким образом, представление (2) гарантирует, что точка лежит на световом луче в пространстве Минковского, исходящем из начала координат и направленном в будущее, поскольку X0 с необходимостью положительно.
Пусть теперь
1Л. = аАв1В, IaJ = аА'в\в' (А, В, А', В' = 0, 1) (5)
есть линейные преобразования комплексных двумерных пространств (?°, ^1) и (|°\ Iі ), где (аЛв) и (аЛБ')—две комплексносопряженные матрицы. Если х\ записать через величины ^ и І*1 аналогично представлению (2), то линейное преобразование (5) будет индуцировать линейное преобразование
^ = PV (6)
в пространстве Минковского, коэффициенты P^. которого являются линейными комбинациями матриц а и а. Нужно найти такие условия на преобразования (5), при которых индуцированное преобразование (6) в пространстве Минковского было бы преобразованием Лоренца.
Из соотношений (5) следует, в частности, что
X0, = (1//2) (а°о|° + а0,!1) (а^Г + S01T) +
+ (1//2) (а'о|° + а'іб') («'о-Г + а'М*') =
== V2 (а°0а00' + а’оа'о-) (х° + х3) --J- V2 (a°,aV + OC11Ci1J') (х° — х3) -J-"Н V2 (® о® і’ “Н ® о® і-) (х -J- ix ) -j- V2 (® і® 0' ® і® o') )’(7)
Следовательно,
PO і о0 0 -Or і I — п0 о0 0 — і 1 —\*
0 + P 3 = Ы Oa 0' O') P О — P 3 — ОС Ia I' + Ia 1')
о0 -оО О -0' , 1 -1' о0 , -о0 0-0' I I -I' V /
Pl — ^P 2 — a gCt 1' —j— ОС QCt Г> Pl ^P 2 — О* I Ct Q' -j- CX ICX Q'.
248
Глава 10. Частицы спина 1/2 в геометрии Керра
Требование, чтобы преобразование (6) было лоренцевым, приводит (в частности) к тому, что
(P00)2 - (P01)2 - (P02)2 - (Р°з)2
1.
Вследствие соотношений (8) отсюда вытекает
О -О' I 1 -1' О -О'
а0«о' + а0« о' а 0а у
О -0' і 1 -1'
а іа о' +а Iа о'
О -О'
а іа р
і -і' а0а і
• OC1Ia11
0 0 IkO' —0'
8 о 8 Po' a I'
OC1O OC1I P1O' aV
(9)
= AA = I, (10)
где А и А —детерминанты преобразований (5). Следовательно, необходимым условием того, что преобразования (5) представляют преобразования Лоренца, является равенство единице модуля детерминантов этих преобразований, другими словами, эти преобразования должны быть унимодулярными. Очевидно, что это условие является достаточным. В дальнейшем мы будем предполагать, что
A = A1=rI, (11)
т. е. мы ограничиваемся преобразованиями с единичными детерминантами. Ясно, что эти преобразования (сохраняющие направление времени) включают в себя все лоренцевы преобразования без отражений. Если же вдобавок рассматривать преобразования, отличающиеся знаком от преобразований, подчиняющихся условию (11), то мы восстановим всю совокупность преобразований Лоренца.
Определим теперь спиноры и у]А ранга 1 как комплексные векторы в двумерном пространстве (А, А' = 0, 1), имеющие следующие законы преобразований:
І? = <ЛіВ, Tlf = OW'(Л. А', В, Br = 0, 1), (12)
где (аАв) и (алв.) —ком 1 лексно-сопряженные матрицы с единич-HbLMu детерминантами
I ссАв I = I аЛв' I=I- (13)
Важно различать спиноры двух классов: нештрихованные и штрихованные — последние преобразуются с помощью комплексно-сопряженной матрицы. Для спинорных индексов мы будем использовать только прописные буквы латинского алфавита.
Если два спинора и г\А принадлежат к одному и тому же классу, то детерминант
I0 I1
T)0 T]1
= I01I1 — I1tI0
(14)
инвариантен относительно унимодулярных преобразований. Следовательно, можно определить кососимметричную метрику гАВ в пространстве спиноров, такую, что
rIs = inv, (15)
102. Спинорный анализ в формализме Ньюмена—Пенроуза
249
Из сравнения с уравнением (14) следует, что
eOO ~ 8Il = 0, Єоі ~ —Єю — 1 ,
(16)
т. е. гАВ — двумерный символ Леви-Чивиты. Подобным же образом можно определить метрику еЛ'В, для штрихованных спиноров, она также будет задаваться символом Леви-Чивиты.
