Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
d2? а2 Iim/-2AM2+ I M2)- (492)
dt dQ 16л; г_>оо
238
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
Соответствующие выражения для энергии в падающей и отраженной гравитационных волнах через вейлевские скаляры имеют следующий вид:
d2?<inc> 1
IimrjMYrcT. (493)
dfdQ ~ 64ла2
/¦->00
d2?<ref> 1 Iimr21 ?fef)P- (494)
d/ dQ 4ла2 r^OQ
Для вейлевских скаляров W0 и 4F4 у нас есть следующие решения (ср. с уравнением (148)):
1F0 = R+iS+2 ехр [г (at + mcp)],
4 (р*)41F4 = R_2S_2 ехр [t (at -(- mcp)],
где угловые функции S+2 и S_2 нормированы на единицу, а радиальные функции R+ 2 и Rmm2 нормированы так, чтобы удовлетворять уравнениям (41) и (42), т. е. мы знаем все необходимое для использования уравнений (495).
Подставляя решения (495) для вейлевских скаляров 4P0 и 4F4 в уравнения (493) и (494), получаем
= (496)
-^=6?^1<497>
Из уравнений (466) и (467) следует, что уравнения Тьюкольского действительно допускают решения, для которых существуют пределы (496) и (497). Действительно, подставляя коэффициенты
R+2ПС) и R->2ef), определенные формулами (466) и (467), имеем
d2?(,nc) 5+2 г D(inc+a) D(inc-a)i /лосі
At dQ --64^1^2 R+2 J’ (4У8)
d2?(ref) _ -a)]. (499)
dQ 64ла2
Подставляя вместо коэффициентов R+2C+0) и т. д. выражения (468) и интегрируя по углам, находим, что коэффициент отражения равен
R = а(+0)А{'0) (500)
в полном согласии с выражением (447), полученным при исследовании одномерных волновых уравнений, которым удовлетворяют функции Z{±0).
в. Поток энергии через горизонт событий. В общем случае можно построить, по существу, однозначно сохраняющийся тен-
98. Задача об отражении и прохождении волн
239
зор энергии-импульса гравитационного поля, соответствующего возмущению пространства-времени над стационарным фоновым многообразием. Следовательно, из того что выражение для коэффициента отражения R действительно представляет часть падающего потока гравитационной энергии, отраженной потенциальным барьером, мы можем заключить, что коэффициент прохождения Т, который удовлетворяет требованию (448) для закона сохранения энергии, с необходимостью представляет собой долю падающей энергии, пересекающей горизонт событий и поглощаемой черной дырой. Интересно тем не менее проверить, что выражение, полученное нами для потока энергии через горизонт событий, совместно с утверждением теоремы Хокинга (ср. с § 65, г)
о том, что поток энергии через горизонт событий прямо связан со скоростью возрастания площади поверхности горизонта.
Площадь поверхности горизонта керровской черной дыры 2 следующим образом связана с массой M и моментом количества движения Lz (=аМ) относительно оси вращения:
S = 4я (r\ + а2) = Sn [M2 + (M4 - Z,2)'72]. (501)
Следовательно, изменение массы dAf и момента количества движения ALz вызывает изменение площади d2, равное
dS == 8я (Mi - LlYu2 {2 [M2 + (M4 - L2)'72] MdM-Lz ALz], (502) или иначе
dS = (8я/М) (M2 — OiYu2 (2 M2r+ d M-Lz d Lz). (503)
Поскольку в рассматриваемом случае (ср. с уравнением (253)
гл. 8) J
ALz = —т AMla (504)
(минус появляется вследствие того, что теперь ALz — изменение момента количества движения черной дыры, а не поля), из уравнения (503) следует, что
d2 = (4я/е0) (I — Oja) AM, (505)
где (ср. с уравнением (445))
Sq = (M2 — а2)',2/4Мг+. (506)
Ниже в разделе г мы выведем формулу
dS = (2MrJeo)'\ о™ I2 At dQ, (507)
где о™ — возмущение первого порядка для спинового коэффициента а на горизонте в базисе Хартля — Хокинга (уравнение (243) гл. 8). Объединяя уравнения (505) и (507), получаем, что в соответствии с теоремой Хокинга
d2?(tra.,s) Мг+а
240
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
Вычислим о™ с помощью тождества Риччи (уравнение (3106) гл. 1, а также уравнение (3) настоящей главы):
Dcr _ 6х = ст (р + р* + Зе — е*) — х (т — я* + а* + ЗР) + xV0
(509)
в базисе Хартля — Хокинга, поскольку именно этот базис регулярен на горизонте. Поскольку базис Хартля — Хокинга получается из нашего стандартного базиса (уравнение (170) гл. 6) вращением из класса III (гл. 1, п. 8, ж) с параметром А = 2 (г2 + + а2)/А, то из формулы (347) гл. 1 следует, что
гнн = -V2A-2DA =V2DA'1 = (510)
(поскольку 6 = 0 в первоначальном базисе). Следовательно, на горизонте
е™ = (г + - M)/2 (r\ 4- a2) = (M2 - а2)'/2/4Мг+ = є0. (511)
Кроме того, рнн равно нулю на горизонте, а х = 0 по определению. Мы получаем, таким образом, следующее уравнение:
= 2 е0а™ + (<")г+. (512)
С другой стороны, на горизонте (уравнения (250) и (252) гл. 8) имеем
Dr+H — ia + iam/2Mr+ = і (а — as). (513)
Следовательно,
<Я = OFowV* [(а - as) + 2/ео]. (514)
Имеем также
WH)r+ = [А2То/4 (г2 + а2)2]г+ = (АЧк/4 (2 Мг+)2. (515)
Подставляя выражения (514) и (515) в уравнение (508), получаем
^(1ГаП$) _ 1 I A 2TjT I2 /KlfiN
dfdQ 64я {2Мг+у [(а — as)‘- -f- 4eg] (а — os) I А h-’ V010/
Подставляя решение для V0, приходим к следующему результату:
d2?(trans) S22 а
d^dQ 64к (2Мг+у [(а — а,)2 -f- 4Pq] (а — as) I ^ ^+2I'+' (517)
