Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, используя асимптотическое выражение для решения R+2 на горизонте (аналогично тому, как это было сделано в уравнении (466)), получаем
d2?(trans) S22 a I D(,rans) 12
___________________________________^________________ г) itrans /C1Q\
dfdQ — 64л; (2Мг+)3 [(а — as)2 + 4eg] (а — os) 1+2 I* ' '
Если поток энергии в падающей волне дается выражением (498), то уравнение (518) приводит к значению коэффициента прохождения, которое согласуется с выражением (472).
98. Задача об отражении и прохождении волн
241
Итак, мы удостоверились в том, что коэффициенты отражения и прохождения, выведенные в п. 98, а, имеют как раз тот физический смысл, какой мы им приписали интуитивно.
г. Формула Хартля — Хокинга. Формула Хартля — Хокинга (507) следует из уравнений для оптических скаляров, рассмотренных в п. 9, а гл. 1.
Напомним, что спиновые коэффициенты р и а измеряют соответственно сходимость и сдвиг изотропной конгруэнции 1. Если конгруэнция является геодезической, ТО X = 0 и тождество Риччи (уравнение (310а) гл. 1) дает
Dp - (р* + I а I2) + (е + е*) р. (519)
Рассмотрим это уравнение в базисе Хартля — Хокинга на горизонте. Поскольку в настоящем разделе мы будем пользоваться
исключительно этим базисом, опустим индекс HHy описывающий принадлежность величин к рассматриваемому базису.
На горизонте є = є0 = const (значение постоянной дается уравнением (511) для керровской черной дыры) и уравнение (519) принимает вид
Dp = (p2 + |G|2) + 280p, (520)
где D = d/du (как и в гл. 8, уравнение (242)).
Поскольку в стационарном состоянии и р, и о равны нулю на горизонте, уравнение (520) можно линеаризовать по возмущениям
DpO) = 2г0рО), (521)
Единственное допустимое решение этого уравнения следующее:
р<!> - 0, (522)
поскольку р(!) (и а*1)) должны быть периодичны по V для вращающейся черной дыры, а уравнение (521) не допускает таких решений. Следовательно, нужно разложить уравнение (520) до второго порядка, и в результате получаем
Dp<2> =|(*(1>|2 + 2єоР<2). (523)
Запишем решение этого уравнения в виде
OO
р<2> = — j ехр [2є0 (V — и')] I (о')|2 du', (524)
V
совместимом с требованием, чтобы р<2) было равно нулю на верхнем пределе. С другой стороны, если d2 — элемент поверхности горизонта, то скорость его изменения определяется сходимостью изотропной конгруэнции, выходящей из-под горизонта, поэтому
= —2р<2) dl, (525)
242
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
ИЛИ
lnHlw-] =~2 ]>)(y)dy- (526)
О
Подставляя сюда решение (524) для р(2), получаем
V1 оо
In
d? (P1) d2 (O)
О V
j = 2 j du j dy' I o(1) (v’f exp [2e0 (v — v')]. (527)
Изменим порядок интегрирования:
v.
In
d? (t>i) dS(0)
о о
j = 2 J dv' I a<!) (y')|2exp [—2z0v'] j duexp [2e0v] -|-
Vi
+ 2j dv’ I (y')|2exp [—2s0v'] j do exp [2є0и]. (528)
Vi O
После интегрирования no v имеем
ІП [ dSCO)'] = (1/8*) J і1 “ exP 1~2г<р]\ |о(1) И2dy +
О
OO
+ (1 /в0) ехр ^s0V1 — 1] J I (и)|2ехр [—2e0t>] dv. (529)
Vi
Как указал Картер, второй член в правой части этой формулы «имеет дальнодействующий (в противоположность причинному) характер: поведение горизонта во временном интервале от О до V1 зависит от того, что происходит после момента времени v^>. Объяснение Картера следующее: «Это странное свойство является следствием способа определения черной дыры (основанного на представлении о дальнодействии) как области, из которой свет не может попасть на бесконечность». Исключим дальнодействующий член, предположив, что
I (у)|2 = 0, если V > V1 и V1 > 1/2є0. (530)
Тогда уравнение (529) упрощается:
ln Plw] ~(1/eo)]|a(,) Hi2dy- (531)
о
Если еще предположить, что изменение 2 (v) мало в интервале (О, V1), то в таком пределе можем записать
99. Квазинормальньїе моды керровской дыры
243
Для керровской черной дыры получаем отсюда ^|i- = (2A)Ve.)|o("W.
(533)
Это и есть искомая формула. Интересно заметить, что формула, потребовавшая для своего доказательства столь тонких рассуждений, неявно содержится в анализе в п. 98, а, приводящем прямо к выражениям для коэффициентов отражения и прохождения.
99. Квазинормальньїе моды керровской черной дыры
В гл. 4 (§ 35) и 5 (§ 48) были исследованы квазинормальньїе моды черных дыр Шварцшильда и Рейсснера — Нордстрема. Как уже объяснялось, эти моды определяют замирающие тоны возмущенной черной дыры. Ясно, что такие моды существуют
а/М
а
Рис. 45. Зависимость от параметра а действительной и мнимой частей резонансной частоты черной дыры Керра для различных значений I к т. а — 1=2 для всех значений т между —2 и 2. б — / = 3; мнимые частя показаны только для значений т = —3, 0 и 3. в — 1=4; действительная часть показана для всех четных значений т, мнимая часть — только для т = —4, 0 и 4.
244
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
и в общем случае черной дыры Керра. Они были определены Детвейлером. На рис. 45 показаны зависимости действительной и мнимой частей характеристических частот квазинормальных мод от параметров черной дыры Керра.