Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
WiW1 = (SayIb' + yIaIb') (Sy4fI5' + yT4Ib') = Лв'Ів' — ІВ'ЛБ' "= —2.
(53)
При выводе этого соотношения нужно несколько раз использовать уравнение (46). Таким образом, спинор Iа определяет не только изотропный вектор Uiy но и действительный пространственноподобный вектор Wiy ортогональный вектору Ui (разумеется, вектор Wi определен с точностью до слагаемого, пропорционального вектору Ui). Следовательно, спинор \А определяет изотропный вектор Ui — «флагшток» — и ортогональную двумерную поверхность Wi + а и1 — «флаг», и обратно, флаг задает спинор с точностью до знака.
в. Диадный формализм. Поскольку пространство-время общей теории относительности локально является пространством Минковского, в каждой его точке можно построить ортонорми-рованный диадный базис tAa)y ?>fa'') (а, о!у Ay А' = 0, 1) для спиноров так же, как мы строили тетрадный базис с{а) (ау і = Oy 1, 2, 3) для тензоров в тетрадном формализме (см. гл. 1,§ 7). И так же как в тетрадном формализме, диадные индексы — строчные буквы
102. Спинорный анализ в формализме Ньюмена—Пенроуза
253
начала латинского алфавита — будем заключать в скобки. Удобно, однако, иметь специальные символы для двух базисных спиноров ?л0) и Sqj- Будем писать
&> = о*, CA, - и. (54)
Условие ортонормированности имеет следующий вид:
ЄЛВ0'41В = O0I1 — O1I0 = 0BlB == —OaIa == 1. (55)
Элементарными следствиями этих определений являются соотношения
&ЛВІІа)?(Ь) = ?(а) B^fb) = 8(fl) (b), (56)
(a) (6)?./? ^B «.Л «.В «.Л «.В A B A B пАВ
е S(a)?(6)=?( O)S(l) -S(I)S(O) =O I - to =8 . (57)
Ясно также, что можно поднимать и опускать диадные индексы с помощью матриц 8<a><6> и ?(0)(6)- Действительно,
?<с> ле(С) (в) = tfe), e(a)= ?<a) л. (58)
Кроме того, имеем
?(а)л?(6) А = —Sfa)^ = S(a), ?(а)л?(6) = —S(a)?(6) Л = 8(a)(6)* (59)
Как и в тетрадном формализме, можно спроектировать любой
спинор на диадный базис
1(a) = Ulfa), (60)
I(O) = Едо-4, Ed) = Еліл- (61)
Обратные соотношения имеют вид
?л =6<в>С(в)Л = 1(0)ОЛ + ?(1)1Л- (62)
Имеется соответствие между изотропными векторами 1, п, гп и гп и спинорами оА и iA и комплексно-сопряженными им спинорами
Iі <-> олов', гп1 «-* олів', Ini Иов\ я1’ «-* iAB'. (63) Изотропные векторы удовлетворяют условиям ортогональности Vrii = oV іАів' = I, m'rrii = о i4Ifi ілОв' = —I, (64)
а остальные скалярные произведения равны нулю. Таким образом, диадный базис определяет четыре изотропных вектора, которые могут быть использованы в качестве базиса в формализме Ньюмена — Пенроуза (гл. 1, § 8).
Представление (63) вводит в рассмотрение эрмитовы матрицы
OiAB', of, (65)
254
Глава 10. Частицы спина Il2 в геометрии Керра
такие, что
Ji -I * A fB' і ~А~В'
I = Oab'Q(o)b(o') = gab'O О ,
~і і j-A ZB' і А~В'
т = алв'ьо)ь(о') = gab'\ о > Поэтому можно написать
т
¦ ffW?(0)?fi') = 0AB' 0А1В'
OAB'?tl)Z(\') = O1AB^aIb'-
„і I
алв' = УГ
Iі т1 AB' 1 Пі —ЇПі
IUi п{ ’ 01 “ V2 —mt и
(66)
(67)
Сравнение с формулами (39) и (40) показывает, что вышеприведенные определения позволяют естественным образом обобщить спиновые матрицы Паули.
И наконец, производные по направлению в формализме Ньюмена—Пенроуза (определения (285) гл. 1)
D == Vdii А = п1ди 8 = т1ди 8* == тсді
имеют
(68)
(69)
свои спинорныи эквивалент
300' = Di дП' = А, йог = S,
г. Ковариантная производная спинорных полей и спиновые коэффициенты. В настоящем разделе мы определим ковариантное дифференцирование спинорных полей. Самосогласованное определение должно основываться на следующих соответствиях:
Vi- — Vab', (70)
ViXf = Xj; і «-> VaB'XcD' = XcD'; AB'- (71)
В соответствии с соотношением (41) это последнее соотношение требует, чтобы
XcDrtAB' = Ocd'OaB'Xj: і.
(72)
Кроме того, потребуем, чтобы ковариантное дифференцирование спинорных полей удовлетворяло правилу Лейбница, т. е. чтобы
Улв' X T-...) - T-... V^(S-...) + S-..‘. VAB'(T-‘\..),
(73)
где S' \ и Т’“ —два произвольных спинорных поля. Потре-
буем также, чтобы оператор Vab' был действительным:
V AB' = ЧЛ'В- (74)
Покажем теперь, что предыдущих постулатов достаточно для однозначного определения операции ковариантного дифференцирования. Ho прежде заметим, что как и в тетрадном формализме
мы можем определить внутреннее дифференцирование. Действи-
тельно, определим внутреннюю производную диадной компоненты |(а) спинора вдоль «направления» (а) (b') равенством
l(c)\(a) (b') = S(C)Ic; АВ'?>(а)?(Ь')> (75)
102. Спинорный анализ в формализме Ньюмена—Пенроуза
255
или
1(c) I AB' = ±{с)1с-,АВ'- (76)
Докажем два элементарных следствия вышеприведенных определений и постулатов.
ЛЕММА 1.
G1CD'; AB' = 0, OfJ0AB' = 0. (77)
Доказательство. Лемма следует из соотношения (72), левая часть которого может быть записана в виде
XcD'; AB' = (ojjo'Xj)- АВ'у (78)
а правая — в следующей альтернативной форме:
^1CD' (gAB'Xj-- і) = 0JCD'Xj;AB'• (79)
Из требуемого равенства правых частей соотношений (78) и (79) следует первое из двух утверждений леммы. Второе же утверждение следует из соотношений ортогональности (36) и правила Лейбница.