Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Чандрасекар С. -> "Математическая теория черных дыр Часть 2" -> 80

Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.

Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр Часть 2 — М.: Мир, 1986. — 355 c.
Скачать (прямая ссылка): matteoriyachernihdir1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 126 >> Следующая

98. Задача об отражении и прохождении волн

235

ответствии с результатами, полученными из исследования одномерных волновых уравнений,

T < 0 при о < Osy (476)

т. е. имеет место, как и было предсказано, суперрадиадия.

Как и в п. 76, а, мы можем найти альтернативные выражения для коэффициентов отражения и прохождения, используя условие унитарности, которое справедливо и в рассматриваемом здесь случае. Рассматривая решения уравнений Тьюкольского, имеющие асимптотики

МГ’ ехр [--tar*] f R+.2ef) ехр [ + /ar*]'A2

при г —*¦ г+ -)- О,

R- 2

RT} ехр [-tar*]

tf<rns,exp[-tar*]/r5

при г —>¦ оо;

- #i2ef) A2 ехр 1+tar*] при г —»¦ г+ —]— 0, ^it2ransV3ехр [-tar*] при г —* оо,

(477)

(478)

находим

R =

256 (2Мг+)« (a — а,)2 [(а — as)2 + 4sg]‘2 [(а — Cts)2 + Ібе,;]

n(ref) к+2

n(inc) *+2

256

m2

(2Mr+) (а - а.) [(а - а„) + 4е0] X

X [(а — osf -f- 16е0]

(2Mrt)6 (а — as) [(а — as)2 + 4eg] [(а — Os)2 + 16е§] — (2Mr+)3 [(а — Os)2 -f- 4єо]

д(іпс)

n(trar.s)

к+2

(479)

RWC)

'+2 д mans)

Я1‘2ПС>

(480)

В шварцшильдовом пределе (а = 0) выражения для RhT (471)—(473), (479) и (480) сводятся к выражениям (371), (372), (377) и (378) гл. 4.

б. Прямое вычисление потока излучения на бесконечности. Нам осталось убедиться в том, что коэффициенты отражения и прохождения, полученные в предыдущем разделе, имеют тот
236

Глава 9. Гравитационные возмущения чёрной Ььірьі

физический смысл, который им обычно приписывается. Проблема, с которой мы здесь сталкиваемся, немного тоньше, чем задача, которую пришлось решать в гл. 8 (п. 76, б): в данном случае у нас нет однозначного и общего определения тензора энергии-импульса гравитационного поля в отличие от случая электромагнитного поля. Однако если фоновое пространство-время стационарное и асимптотически плоское, то для возмущенного пространства-времени можно несколькими способами выделить величины, обладающие требуемыми физическими свойствами, которые можно интерпретировать как падающие и отраженные потоки гравитационной энергии. Строгое исследование вопроса со всеми необходимыми подробностями уведет нас далеко в сторону. Удовлетворимся поэтому тем, что приведем только некоторые общие аргументы, которые могут быть подкреплены результатами более тщательного исследования.

Можно показать, что при подходящем выборе калибровки — калибровки де Дондера, или гармонических координат, — уравнения Эйнштейна в пустоте, линеаризованные над фоновым плоским пространством-временем Минковского, допускают решения в виде плоских волн, линейный элемент которых равен

где по предположению A11 и A31 — малые величины первого порядка, являющиеся функциями аргумента (х° ± х2)\

Другими словами, решения представляют плоские волны, уходящие (знак «—») или входящие (знак «+»). Действительно, в этой метрике единственными ненулевыми компонентами тензора Римана, которые вычисляются по формуле

где точки обозначают дифференцирование по аргументу (х° ± х2): а свертыванием компонент тензора Римана получаем, что все компоненты тензора Риччи равны нулю. Это подтверждает, что метрика, заданная уравнениями (481) и (482), действительно удовлетворяет уравнениям Эйнштейна в пустоте.

dS2 = (dx0)2 — (dx2)2 — (I — A11) (dx1)2

— (I + hn) (dx3)2 + 2A31 dx3 dx1, (481)

Au = A11 (x° ± x2)y A31 = A31 (x° ± x2).

(482)

являются следующие компоненты:

S^?0303 — Si?2323 — 6Я0101 S^?2121 — Йц/2,

&R<)301 — Si?2321 “ --------ftsi/2,

6^?0323 = -----6i?012i = d=All/2,

S^?2301 = 6^0321 = +Йзі/2,

(484)
98. Задача об отражении и прохождении волн

237

Теперь можно вычислить вейлевские скаляры Y0 и xF4, соответствующие метрике (481), относительно изотропного базиса (ср. с уравнением (333) гл. 4)

Г = (1, 0, 1, 0), Iti=VaO, Ot -1, 0),

m‘ = (1//2) (0, /, О, 1). ( }

В этом базисе (ср. с уравнением (334) гл. 4)

11Г0 ~ І (8Яо301 ~Ь 2321 “Ь Si?2301 ~h бі?032і)

V2 (бі?030з ~f- 28R0323 -f-

”Ь б^?2323 8^0101 26І?0121 б^?212і)‘ (486)

Если подставить сюда значения для компонент тензора Римана из уравнений (484), то получим

( 0 для уходящих волн,

W0 = \ 0/, .V V (487)

{ —2(пп — іп3і) для входящих волн.

Подобным же образом находим

_| -1U (hi + ійзі) для уходящих волн,

4I 0 для входящих волн.

Итак, вейлевский скаляр 1F0 не равен нулю только для приходящих волн, а Ч;4 — только для уходящих волн.

Поток энергии через единицу площади, связанный с плоской волной

ехр Iia (х° ± X2)], (489)

равен

^ = V4*2 (IM2 44 M2)- (490)

Выражения для потоков энергии в приходящих и уходящих волнах, записанные через вейлевские скаляры, имеют следующий вид:

= (1/1602) I 4tfn)|2, ^-(out) = (1/а2) I ^iou0I2. (491)

Предыдущий анализ был выполнен для плоских волн. Однако в асимптотически плоских областях пространства-времени результаты будут справедливы (локально) и для сферических волн, распространяющихся внутрь (в направлении падающей волны) или наружу (в направлении отраженной волны). Вместо уравнения (490) теперь нужно писать следующее выражение:
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 126 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed