Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
98. Задача об отражении и прохождении волн
235
ответствии с результатами, полученными из исследования одномерных волновых уравнений,
T < 0 при о < Osy (476)
т. е. имеет место, как и было предсказано, суперрадиадия.
Как и в п. 76, а, мы можем найти альтернативные выражения для коэффициентов отражения и прохождения, используя условие унитарности, которое справедливо и в рассматриваемом здесь случае. Рассматривая решения уравнений Тьюкольского, имеющие асимптотики
МГ’ ехр [--tar*] f R+.2ef) ехр [ + /ar*]'A2
при г —*¦ г+ -)- О,
R- 2
RT} ехр [-tar*]
tf<rns,exp[-tar*]/r5
при г —>¦ оо;
- #i2ef) A2 ехр 1+tar*] при г —»¦ г+ —]— 0, ^it2ransV3ехр [-tar*] при г —* оо,
(477)
(478)
находим
R =
256 (2Мг+)« (a — а,)2 [(а — as)2 + 4sg]‘2 [(а — Cts)2 + Ібе,;]
n(ref) к+2
n(inc) *+2
256
m2
(2Mr+) (а - а.) [(а - а„) + 4е0] X
X [(а — osf -f- 16е0]
(2Mrt)6 (а — as) [(а — as)2 + 4eg] [(а — Os)2 + 16е§] — (2Mr+)3 [(а — Os)2 -f- 4єо]
д(іпс)
n(trar.s)
к+2
(479)
RWC)
'+2 д mans)
Я1‘2ПС>
(480)
В шварцшильдовом пределе (а = 0) выражения для RhT (471)—(473), (479) и (480) сводятся к выражениям (371), (372), (377) и (378) гл. 4.
б. Прямое вычисление потока излучения на бесконечности. Нам осталось убедиться в том, что коэффициенты отражения и прохождения, полученные в предыдущем разделе, имеют тот
236
Глава 9. Гравитационные возмущения чёрной Ььірьі
физический смысл, который им обычно приписывается. Проблема, с которой мы здесь сталкиваемся, немного тоньше, чем задача, которую пришлось решать в гл. 8 (п. 76, б): в данном случае у нас нет однозначного и общего определения тензора энергии-импульса гравитационного поля в отличие от случая электромагнитного поля. Однако если фоновое пространство-время стационарное и асимптотически плоское, то для возмущенного пространства-времени можно несколькими способами выделить величины, обладающие требуемыми физическими свойствами, которые можно интерпретировать как падающие и отраженные потоки гравитационной энергии. Строгое исследование вопроса со всеми необходимыми подробностями уведет нас далеко в сторону. Удовлетворимся поэтому тем, что приведем только некоторые общие аргументы, которые могут быть подкреплены результатами более тщательного исследования.
Можно показать, что при подходящем выборе калибровки — калибровки де Дондера, или гармонических координат, — уравнения Эйнштейна в пустоте, линеаризованные над фоновым плоским пространством-временем Минковского, допускают решения в виде плоских волн, линейный элемент которых равен
где по предположению A11 и A31 — малые величины первого порядка, являющиеся функциями аргумента (х° ± х2)\
Другими словами, решения представляют плоские волны, уходящие (знак «—») или входящие (знак «+»). Действительно, в этой метрике единственными ненулевыми компонентами тензора Римана, которые вычисляются по формуле
где точки обозначают дифференцирование по аргументу (х° ± х2): а свертыванием компонент тензора Римана получаем, что все компоненты тензора Риччи равны нулю. Это подтверждает, что метрика, заданная уравнениями (481) и (482), действительно удовлетворяет уравнениям Эйнштейна в пустоте.
dS2 = (dx0)2 — (dx2)2 — (I — A11) (dx1)2
— (I + hn) (dx3)2 + 2A31 dx3 dx1, (481)
Au = A11 (x° ± x2)y A31 = A31 (x° ± x2).
(482)
являются следующие компоненты:
S^?0303 — Si?2323 — 6Я0101 S^?2121 — Йц/2,
&R<)301 — Si?2321 “ --------ftsi/2,
6^?0323 = -----6i?012i = d=All/2,
S^?2301 = 6^0321 = +Йзі/2,
(484)
98. Задача об отражении и прохождении волн
237
Теперь можно вычислить вейлевские скаляры Y0 и xF4, соответствующие метрике (481), относительно изотропного базиса (ср. с уравнением (333) гл. 4)
Г = (1, 0, 1, 0), Iti=VaO, Ot -1, 0),
m‘ = (1//2) (0, /, О, 1). ( }
В этом базисе (ср. с уравнением (334) гл. 4)
11Г0 ~ І (8Яо301 ~Ь 2321 “Ь Si?2301 ~h бі?032і)
V2 (бі?030з ~f- 28R0323 -f-
”Ь б^?2323 8^0101 26І?0121 б^?212і)‘ (486)
Если подставить сюда значения для компонент тензора Римана из уравнений (484), то получим
( 0 для уходящих волн,
W0 = \ 0/, .V V (487)
{ —2(пп — іп3і) для входящих волн.
Подобным же образом находим
_| -1U (hi + ійзі) для уходящих волн,
4I 0 для входящих волн.
Итак, вейлевский скаляр 1F0 не равен нулю только для приходящих волн, а Ч;4 — только для уходящих волн.
Поток энергии через единицу площади, связанный с плоской волной
ехр Iia (х° ± X2)], (489)
равен
^ = V4*2 (IM2 44 M2)- (490)
Выражения для потоков энергии в приходящих и уходящих волнах, записанные через вейлевские скаляры, имеют следующий вид:
= (1/1602) I 4tfn)|2, ^-(out) = (1/а2) I ^iou0I2. (491)
Предыдущий анализ был выполнен для плоских волн. Однако в асимптотически плоских областях пространства-времени результаты будут справедливы (локально) и для сферических волн, распространяющихся внутрь (в направлении падающей волны) или наружу (в направлении отраженной волны). Вместо уравнения (490) теперь нужно писать следующее выражение: