Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
7и\ -о)
В
(/. -о)
при Г* —> -|- ОО, ехр [ tar*]
(457)
110:1 Г*
й32
Глава 9. Гравитационныё возмущения черной дыры
будет комплексно-сопряженным решению Z(y’+G), асимптотики которого заданы уравнением (453). (Этот факт можно проверить, рассматривая решение с асимптотиками Zih ~0) и выводя из него решение Z{L,"0) в соответствии с соотношениями (450), а
затем умножая это решение на множитель K1IK11 чтобы коэф-
фициент при ехр (—іог%) в асимптотике г* -> оо стал равным единице.) Следовательно (ср. с уравнением (456)):
[AU- +а)]* = Л(/. -o)KijKi = Аи. -о)ки, +а)^ (45g)
[Bu' +0)]* = Bih '0K (459)
Вследствие этих соотношений имеем R = Aijt +а)Л(/’ “а) = I Aii' +а)|2 Kii' +0)/К{1, ~а) =
= I Au' +(Т>|2 [Kih +а)]2/| 9I2 = I Au' _0)|2 [Ku' ~а)]2/| V I2; (460)
Т = |В</1+а)|2 = |В(/’-а)|2. (461)
Ha этом доказательство теоремы завершается.
СЛЕДСТВИЕ. В общт случае можно записать R^\Au’+0)\2[Ku’+0))[Ku’+0)]
J =\в
(/. +а)|2 (462)
Это соотношение очевидно, поскольку когда потенциал V1 действительный, то K1 комплексная величина, а когда потенциал Vj комплексный, то
ІК(і’+0)]* = Kih+0)> (463)
Теперь ясно, что различные случаи а > crc, Gc > а > Gs и G < G^ могут быть исследованы в точности так же, как в гл. 8 (§ 75), в частности возникает явление суперрадиации.
В табл. 10 приведены коэффициенты отражения и прохождения для гравитационных волн различной частоты, падающих на керровскую черную дыру са = 0,95.
а. Выражения для RwT через решения уравнений Тьюкольского с заданными граничными условиями. Сначала напомним, что
= Фо = R+2$+2 ехр Ii (сJt + тср) ], .
(р*)4% = Ф4 = R-2S-2 ехр U (Gt + тф) ],
где мы восстановили зависимости от t и ф (ср. с уравнением (6)). Функции ТЬЮКОЛЬСКОГО R+ 2 и R_2 в свою очередь связаны с функциями Y(+2G) и У[~20) соотношениями (ср. с уравнением (379))
R+ 2 = [(62)372/А2] R-2 = (62)3/2ri-20). (465)
98. Задача об отражении и прохождении волн
233
Таблица 10
Коэффициенты отражения для гравитационных волн, падающих на керровскую черную дыру с а = 0,95 (I = 2, т = —2)
О 0Z0S R a 0I0S R
0,50 0,6907 1,04422 0,77 1,0636 0,27057
0,55 0,7597 1,07031 0,78 1,0774 0,16754
0,60 0,8288 1,10693 0,79 1,0912 0,10007
0,65 0,8979 1,15358 0,80 1,1051 0,05844
0,70 0,9669 1,15101 0,81 1,1189 0,03372
0,73 1,0084 0,92530 0,82 1,1327 0,01932
0,74 1,0222 0,76882 0,83 1,1465 0,01103
0,75 1,0360 0,58828 0,84 1,1603 0,00628
0,76 1,0498 0,41376 0,85 1,1741 0,00357
Поскольку все четыре потенциала приводят к одинаковым коэффициентам отражения и прохождения, мы не будем помечать решения какими-либо индексами. Для определенности ограничимся рассмотрением случая, когда потенциал комплексный и а > as. Эти ограничения не приводят к сколько-нибудь существенной потере общности: для включения в рассмотрение случая а2 < 0 и действительных потенциалов достаточно сделать незначительные и в основном формальные модификации. Кроме того, нетрудно проверить, что окончательные результаты при этом не затрагиваются.
С помощью соотношений (441)—(444), выписанных в п. 97, д, мы можем написать асимптотики решений R+2 и R_2y следующих из уравнений (412) теории преобразований, если решения Z(±a) имеют асимптотики (446). Находим
R+2с) ехр [+iar Jl г + R+2t} ехр [-iar Jlr'
при ОО,
^Г^ехржшд/д2 (466) при г-уг+ + 0;
R(-2C) ехр [ + iarJlг + ^ir2efV3 ехр [—iar J
при Г -> оо,
ЯІГп5)Л2ехр[+шг*] (467) при г^-г+ + 0;
Aa2tfcrRiJ2n^ =—К(0)14о2,
(/(<+17)/4ст2) Л(+а), Ri2 !) =-Aa2А(~0), (468)
R-2
где
+2 =-
Я(г-е,)
+2 =
R+ 2 {
I
I
I
234
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
RTns) =-4 [(й+)3/2/(а - Os)] о2 [(о - Os) + 2г'е0] В{+0),
n(trans)__________________К(~0) (O-Os)2 Д("Я)____________
~2 4 (й2)5/2 CT2 [(о - 0S) - 2»е0] [(а - CTs)-4t80]
Из предыдущих соотношений следует, что
j A+2ef)/A(+2ncT = [Л:(+0>]2| Л(+0)|2/256а8,
I Air2efVA02ncT = 256а81 Л(-а)|2/[/((-а>]2. (469)
Если воспользоваться соотношением (458) между Л(+а) и Л(_а\ то получим
I ,Rir2efVjRlfI2 = |*f Л(+а)Л(_а)/256а8,
I Ai2ef>/Ai2nc>|2 = 256о8Л(+а>А{~0)1\ V I2. (470)
Из уравнения (447) следует, что выражение для коэффициента отражения может быть записано в одной из двух форм:
R = (256а8/1W I2) I RiZnIRTf,
R = (| <g> |2/256а8) I Ai2efVfli2ncT- *
Аналогично, для коэффициента прохождения получаются следующие две формулы:
T = IsmP= "•
n(inc)
^+2
(2уИг+)3 (ст — Cts) [(а — Cts)2 + e4g)
(-о)|2 _ (2Mr+)6
- - \у — UsJ іди — us; -J- IC0J Л
^(trans)
T = І Я(->|. = (а as) [(ff _ as)2 + 4е2] х
X [(а — os) 4” 16е-0]
R0nc)
(472)
(473)
Закон сохранения (448) требует, чтобы I fllf’l2 = (256a8/| V I2) I Air2efI2 +
+ {oV(2Mr+f (о - os) [(а - osf H- 4е02]) | RTns) |2, (474)
I Aii2ncT = (19 |2/256а8) I Air2efT +
+ (2MrJof (о - os) [(а - Os)2 + 4бо] [(а - os)2 + 16е§] | Ai‘2rans) |2-
(475)
Хотя мы ограничились рассмотрением случая а2 > 0 и комплексных потенциалов, нетрудно убедиться, что уравнения (471)— (473) справедливы без всяких ограничений. Мы видим, что в со-
