Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Как и в тензорном анализе, метрики гАВ и гА'В' могут использоваться для опускания спинорных индексов
Индексы могут подниматься символом Леви-Чивиты гАВ:
Вследствие антисимметричности символов гАС и гСА в уравнениях (17) и (19) важно сохранять порядок индексов по отношению к свертываемому индексу. Поскольку
Очевидно, что рассматривая штрихованные спиноры, мы получим снова формулы (17)—(21), но со штрихованными индексами.
Так же как в тензорном анализе, можно построить спиноры более высокого ранга
с соответствующими трансформационными свойствами. Например,
Важно отметить, что порядок индексов каждого типа является существенным и должен сохраняться, но относительный порядок штрихованных и нештрихованных индексов может быть произвольным.
И снова, как и в тензорном анализе, с помощью метрики гАВ или еА'В' можно произвести свертку пары нештрихованных или пары штрихованных индексов, однако свертка штрихованного индекса с нештрихованным, разумеется, запрещена. Имеем
ІА = Iе 8 CA*
(17)
или в явном виде
(18)
Iа = еПс.
(19)
имеем
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
С другой стороны,
(25)
250
Глава 10. Частицы спина 1І2 в геометрии Керрй
следовательно,
в частности.
1а'=-Га', (26)
1а'1а' = 0. (27)
Формула (26) — пример «правила пилы» Пенроуза
S = —ё'д (28)
а. Спинорное представление векторов и тензоров. Уравнения (2) и (3) дают представление радиуса:вектора Xі через пару
комплексно-сопряженных спиноров Iа и Iа'- Это представление можно записать в виде
і1' і X0 4-*3 X1 4-і г2
(29)
В общем случае мы свяжем произвольный 4-вектор Xі со спинором второго ранга |лв' следующим образом:
I0I0' I0V I X0 -j- X3 X1-J-IX2
Vl0' VV' I iU * 0 1 ъ
X1'
^00' E01' I X0+ X3 ХЧ iX2
I10' I11' Vz X1 - tX2 X0- X3
= Xab’ (30)
Таким образом, 4-вектор связан с эрмитовой матрицей.
С 4-вектором связан следующий инвариант:
(X0)2 - (X1)2 - (X2)2 - (X3)2 = (X0 + X3) (X0 - ^3) -
- (Xі + ІХ2)(Х' - ІХ2) = 2(g°°'6n' - E01I' ) =
= (600?*' + brg11' + M0' + 601Ъг) = ХАВ,ХА*\ (31)
Этот инвариант можно записать с помощью метрики gtj пространства Минковского и метрик гАВ и гА'В' спинорного пространства:
(32)
(33)
SiiXiXI = гАсеВ'0'ХАВ'Х™'.
Соотношение
Xt' ~ X-4*' теперь принимает следующий вид:
Xi і у AB'
— 0АВ'Л
Обратное соотношение имеет вид
\гАВ' AB'і
X =OiXy
(34)
(35)
і AR'
где оАВг и <т? — эрмитовы матрицы для каждого значения
индекса і. Следствием этих определений являются соотношения
AB' і SiAoB' і AB' сі
Oi OcD'—OcOo'y 0AB'Oj = Oy
(36)
102. Спинорный анализ в формализме Ньюмена—Пенроуза
251
И наконец, из соотношений (32) и (35) получаем
Sn
AB' CD'
&ACeB'D'0 і О
&ACbB'D’ = gij<*AB'OCD'
(37)
(38)
Матрицы о‘Ав' и afB , определяемые представлением (29), имеют следующий вид:
V2 о*»' = 1
O0AB-
OiAB'
V2
1
V2
1
Ґ2
1 о
О 1
0 і
-і о
1 О О 1
0 -І
1 О
іAB'
т AB'
1
V2
1
У2
1
Oab' = -г?=
оАв> =
К2
1
J/2
0
1 1
о
0
1
1
о
(39)
О
о —1
(40)
Итак, с точностью до нормировочного множителя \!уг2 матрицы а\в’, о\в' и Оав' совпадают со спиновыми матрицами Паули.
С помощью матриц а можно сопоставить тензорам произвольного ранга их спинорные эквиваленты:
уЧ ___ EF' yr AB'CD' yAB'CD'
*k— GAB'VCD'Gk Y EF'* Y EF
В силу этих соотношений имеем правило соответствия
AB' CD' —k л/ij /л і \
Oi Gj OEFfYk- (41)
rAB'CD'
EF^Y1k1. (42)
В этом смысле формула (38) представляет собой правило соответствия
zac^B'D' gif• (43)
б. Наглядное представление спинора Ъ,Аввиде «флага». Рассмотрим изотропный вектор Ui И его СПИНОрНОе представление UAB' !через спинор И комплексно-сопряженный ему спинор %В' •
[ . Ui UAB' = ІАІВ'-
ректор Ui изотропный, поэтому вследствие соотношения (27) имеем
I UiUi = IAtB^' =0.
I
^Іусть г|4 — другой спинор, определяемый равенством ¦ ЪаЧ\л = ъавч\в1а <§<,% - I1TIo = 1,
(44) (27)
(45)
(46)
252
Глава 10. Частицы спина I!2 в геометрии Керра
и пусть
Wi «-> WAB' = SayIb' + yIaIb'- (47)
Рассмотрим антисимметричный тензор
Pu = U1 Wi - UjWi. (48)
Спинорное представление тензора ptj имеет вид
Pab'CD' = SaIb' (ScyId' + tIcId') — ScId' (SayIb' + yIaIb') =
= SaSc (Ib'4d' — Іо-Лв-) + Ib'Id' (SayIc — ScyIa)- (49) С другой стороны,
SayIc — yIaSc = єас> (50)
поскольку левая часть антисимметрична по индексам Л и С, в силу определения (46) она может принимать значения +1 или
— 1 в зависимости от значения парного индекса {AC), равного (0, 1) или (1, 0). Поэтому Pab'CD' можно записать в альтернативной форме
P AB'CD' = SaSc^B'D' + SAcIb'Id'- (51)
Теперь ясно, что тензор Pij также определяется спинором SA-
Вектор Wi по определению действителен, и он ортогонален
вектору Uiy поскольку
UiWi = IaIb' (SayIB' + yIaIb') = 0. (52)
Кроме того, вектор Wi пространственноподобен, поскольку
