Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Этой формуле можно придать другой вид, если вспомнить, что \'2gR— это вторая космическая скорость Vu:
(20)
на круговой орбите движения вокруг Солнца
(V2 — 1)и ~ 12,3 км/с.
2
откуда
V2U = (V2-l)2v2 + 2 gR.
(21)
V2n =(V2-l)2v2+ V2,.
(22)
228
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Подставляя сюда числовые значения орбитальной скорости Земли v да 29,8 км/с и второй космической скорости Vu =11,2 км/с, получаем Vm да 16,7 км/с.
Сохранение энергии и системы отсчета. Итак, ответ получен. Но, возможно, возник вопрос: почему рассуждения проводились в два этапа? Другими словами, почему закон сохранения энергии использовался дважды: сначала для процесса выхода тела из поля тяготения Солнца, а затем для выхода из поля тяготения Земли? Нельзя ли применить закон сохранения энергии один раз ко всему процессу в целом, потребовав, чтобы полная энергия тела, т. е. сумма его кинетической энергии и потенциальных энергий в полях тяготения Земли и Солнца, равнялась нулю:
Однако очевидно, что так писать нельзя. Действительно, выразив второе слагаемое в формуле (23) через вторую космическую скорость = 2gR, а третье — через скорость Земли на круговой орбите вокруг Солнца v2 = GMc/r, мы не получим для третьей космической скорости формулы (22). И совершенно понятно почему: в выражении (23) мы не учитывали изменения кинетической энергии Земли при удалении от нее запущенного тела. Хотя это изменение и малб, но, как мы видели в предыдущем примере, учет его в гелиоцентрической системе отсчета необходим.
Учтем изменение кинетической энергии Земли. Разумеется, при этом мы будем пренебрегать изменением кинетической энергии Солнца: как при вычислении второй космической скорости можно было пренебречь изменением кинетической энергии Земли при использовании связанной с ней системы отсчета, так и здесь изменением кинетической энергии Солнца можно пренебречь при использовании гелиоцентрической системы отсчета. Его нужно было бы учитывать, если бы мы использовали какую-нибудь инерциальную систему отсчета, в которой Солнце движется, например систему отсчета, связанную с какой-ли-бо галактикой.
С учетом сказанного закон сохранения энергии в гелиоцентрической системе отсчета следует писать в виде
В этом выражении М — масса Земли, v\ — скорость Земли после удаления тела, а остальные обозначения прежние. Третье и четвертое слагаемые в левой части, как и раньше, выразим соответственно через вторую космическую скорость и скорость
m(v + Vm)2 2
(24)
§ 36. КОСМИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
229
Земли на круговой орбите. Перенесем второе слагаемое из левой части уравнения (24) в правую; тогда в правой части будет стоять изменение кинетической энергии Земли, которое представим в виде
2 2 Л/ (ъ — х) ) iV/
----2-----= у (v2 + v)(vi~ v) ^ Mv(v2 — v). (25)
Поскольку масса тела много меньше массы Земли, то изменение скорости Земли при удалении тела от нее малб, и сумма v2 + v приближенно заменена на 2v. Нетрудно сообразить, что это соответствует пренебрежению вторым слагаемым в правой части формулы (19).
Для нахождения изменения скорости Земли Дv = v2 — v воспользуемся законом сохранения импульса. Пренебрежем влиянием поля тяготения Солнца на движение Земли и запущенного тела в течение всего времени, которое оно затрачивает на выход из зоны действия земного тяготения. Так как скорость тела при выходе из этой зоны равна vx, имеем
m(v + Fin) + Mv = mvl + Mv2.
Отсюда
M(v2 — v) = m(v + Vlu — vj = m[Vm — (V2 — l)v], (26)
так как vx = V2 v. Обратим внимание на то, что изменение скорости Земли Av стремится к нулю при m/М—» 0, т. е. запуск космических аппаратов практически не влияет на движение самой Земли. Умножая (26) на v, получаем, согласно (25), изменение кинетической энергии Земли. Подставляя это изменение в уравнение баланса энергии (24), приходим к уравнению для определения третьей космической скорости Vin:
(v + Уш)2 ~ 2V2 - 2v2 = 2v [Vm ~(V2-l)v].
Решая это уравнение, находим для Vlu прежнее значение, даваемое формулой (22).
О задаче трех тел. Обратим внимание на следующее обстоятельство. Несмотря на то, что закон сохранения энергии (24) был записан для всего процесса в целом, при нахождении изменения скорости Земли нам пришлось воспользоваться законом сохранения импульса в приближенном виде только для определенного этапа процесса, а именно для выхода тела только из зоны действия тяготения Земли. При этом мы считали, что на втором этапе, т. е. при удалении тела из зоны действия солнечного притяжения, скорость Земли уже не менялась по модулю. Таким образом, фактически нам все равно пришлось проводить поэтапное приближенное рассмотрение. Попытка приме-
230
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
