Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Решение. Парадокс возникает только в том случае, когда мы пытаемся связать увеличение кинетической энергии автомобиля с энергетическими затратами, т. е. с расходом топлива. Действительно, увеличение кинетической энергии зависит от выбора системы отсчета, а расход топлива — нет. Если рассматривать происходящий процесс в рамках теоремы о кинетической энергии, согласно которой ее изменение равно совершенной над системой работе, то никакого парадокса нет. В самом деле, предположим для простоты, что разгон происходит с постоянным ускорением а. Тогда в системе отсчета, связанной с Землей, перемещение Sj автомобиля за время разгона t есть
*1 = O’cp) \t = \{v + 2v)( = f Vt’
а совершаемая разгоняющей автомобиль силой F = та работа равна
3 3
Л) = Fsj = -^mavt = - mv2.
В системе отсчета, связанной с автомобилем В, сила F, очевидно, имеет то же самое значение, а перемещение s2 автомобиля А уже иное:
*2= (*'ср
и соответственно работа
А2 = Fs2 — та vt — — mv2.
Итак, мы видим, что в каждой системе отсчета изменение кинетической энергии равно совершенной работе, хотя сами значения этих величин зависят от выбора системы отсчета.
Почему же при одинаковом расходе топлива совершается разная работа? Подобный парадокс возникает потому, что в приведенных рассуждениях не учитывалась кинетическая энергия Земли и ее изменение при взаимодействии колес разгоняющегося автомобиля с дорогой. Если это изменение учесть аккуратно, то никакого парадокса вообще не возникает и закон сохранения энергии, разумеется, оказывается выполненным.
Выберем сначала систему отсчета, в которой Земля неподвижна, и рассмотрим физическую систему, состоящую из Земли массы М (со всеми находящимися на ней предметами, включая автомобиль В) и разгоняющегося автомобиля А. В этой системе отсчета полный импульс рассматриваемой системы равен mv. Импульс автомобиля В, как и импульсы всех остальных движущихся по Земле автомобилей, поездов и т. д., считаем включенными в импульс Земли, который до разгона автомобиля А равен нулю.
§ 35. ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ 215
После разгона Земля, испытывая отдачу, приобретает некоторую скорость, проекцию которой на направление движения автомобиля обозначим A^t. Скорость автомобиля А в этой системе отсчета после разгона будет 2v + AVv Убедиться в этом можно следующим образом. По условию задачи А разгоняется до скорости v относительно В, а скорость В относительно Земли не изменилась, т. е. в выбранной системе отсчета стала равной v + А К,. Поэтому скорость автомобиля А, которая еще на v больше, равна 2v + ДК,.
По закону сохранения импульса
mv = MAVX + m(2v + A^i),
откуда
AV r = —v —~Т7- (16)
1 m+M
Изменение энергии всей рассматриваемой системы
Д?, = ^ MiAVA2 + \m(2v + AVX)2 - I mv2. (17)
<L <L i*
Подставляя в (17) AVt из (16), находим
АЕ^\пп,2ТтЬш- (18)
В другой системе отсчета. Рассмотрим теперь те же процессы в системе
отсчета, где вначале автомобили неподвижны. В ней проекция скорости Земли сначала равна —v, а потому полный импульс системы есть —Mv. После разгона автомобиля А скорость Земли изменится на AV2 и станет равной —V + AV2. Скорость автомобиля А в этой системе отсчета после разгона равна и + AV2. По закону сохранения импульса
— Mv = M(—v + AV2) + m(v + Д^2) ¦
Отсюда для AV2 получается то же значение (16), что и для AV^ изменение скоростей, разумеется, одинаково в любой системе отсчета. Изменение энергии АЕ2 теперь запишется в виде
АЕг=Х-М (-v + AV2)2 + I т (v + AV2)2 - I Mv2.
Подставляя сюда AV2= —vm/(m + М), получаем
1 1 4 AEj = — mv2
2 1 +mlM'
Видно, что изменение механической энергии всей рассматриваемой системы получается одинаковым независимо от выбора системы отсчета. Таким образом, затраты топлива приводят к увеличению механической энергии всей системы на величину, даваемую формулой (18). В разных системах отсчета эта энергия по-разному распределяется между Землей и разгоняющимся автомобилем. Она почти целиком передается автомобилю в системе отсчета, где Земля неподвижна. Поскольку m/M<s: 1, то в этой системе отсчета автомобиль получает энергию 3(mv2/2), что совпадает с приведенным в условии задачи значением, которое сразу получается при пренебрежении отдачей
216
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Земли. В этой системе отсчета действительно можно пренебрегать отдачей
Земли, а в других системах отсчета — нельзя, несмотря на то, что изменение
скорости Земли всюду одинаково и ничтожно мало, как это видно из (16).
Мы еще вернемся к этому парадоксу «большого тела» в связи с задачами
