Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Упругие столкновения. В отличие от неупругого, при абсолютно упругом ударе сохраняется не только импульс, но и механическая энергия, так как внутреннее состояние сталкивающихся частиц после удара остается таким же, каким оно было до удара. Так как частицы до и после столкновения являются свободными, то потенциальная энергия отсутствует, и сохранение механической энергии означает сохранение кинетической энергии сталкивающихся частиц.
При изучении закономерностей упругого столкновения будем для простоты считать, что одна из частиц (массы т2) до столкновения покоится: v2 = 0. Назовем эту частицу мишенью, а налетающую частицу с массой т{ и скоростью vt — снарядом. Скорости частиц, разлетающихся после столкновения, обозначим через vj и v2. Тогда законы сохранения импульса и энергии запишутся в виде
Ек~ K=2^Vl~V2)2'
(3)
где
(4)
mlvl = mlvl + m2v2>
(5)
”hv\
2
m\vl , m2v2 2 2'
(6)
Начнем с некоторых простых частных случаев. Прежде всего рассмотрим «лобовое» столкновение частиц, например шаров, при
§ 37. СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ
233
котором скорость Vj направлена по линии, соединяющей их центры. Тогда и скорости шаров после удара будут направлены по этой же линии. Проецируя равенство (5) на это направление, получим скалярное уравнение, которое вместе с (6) образует систему уравнений для нахождения проекций v[ и v2 скоростей шаров после удара. Решая ее, находим
, ml — m2 I 2 тх
V, =----;--- V,, Уг = ----;---
1 т1 + т2 1 L т1 + т2
Если массы шаров одинаковы (т1 = ш2), то первый шар при ударе останавливается, а второй шар после удара движется с такой же скоростью, как и первый шар до удара. Если снаряд легче мишени (т1 < т2), то согласно (7) vx < О, т. е. снаряд отскакивает назад, причем при т1«т2 скорость снаряда просто меняет свое направление на противоположное. Если снаряд тяжелее мишени, то после удара снаряд продолжает двигаться в том же направлении с меньшей скоростью.
Все описанные закономерности легко наблюдать на опыте, изучая столкновения движущихся на воздушной подушке тележек, снабженных упругими пружинными бамперами.
Передача энергии при ударе. Рассматривая изменение кинетической энергии шаров в результате удара, можно убедиться, что в случае равных масс происходит полный обмен энергией, в то время как при большой разнице в массах снаряд при столкновении может передать мишени лишь малую часть своей энергии. В самом деле, пусть, например, снаряд много легче мишени: т1«т2. Тогда, пренебрегая в знаменателе формулы (7) для v'2 величиной т1 по сравнению с т2, получаем v2« 2(ml/m2) vlt откуда для кинетической энергии мишени после удара имеем
tn2v2 _.ml mxv\ ^mxv\
2 m2 2 2
Аналогичный результат получится и в случае, если снаряд значительно тяжелее мишени (ш1»ш2).
В действительности лобовой удар — это большая редкость. Его относительно легко осуществить разве что при игре в бильярд, а при столкновении молекул, атомов и элементарных частиц подавляющее число ударов являются нецентральными.
Если частица налетает на неподвижную частицу такой же массы, то при нецентральном упругом ударе частицы разлетаются под прямым углом друг к другу. Действительно, законы сохранения импульса и энергии (5) и (6) при тх = т2 принимают вид
' г ' 2 '2 I '2
Vi = Vi + v2, vf = v{ +
234
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Первое из этих равенств означает, что векторы скоростей v,, vj и \'г образуют треугольник, а второе — что для этого треугольника справедлива теорема Пифагора, т. е. он прямоугольный: угол между
Рис. 129. Векторы Vi' и V2' скоростей частиц с одинаковыми массами, разлетающихся после упругого удара, направлены под прямым углом друг к другу (а); треки в пузырьковой камере (или камере Вильсона) при столкновении быстрого протона с неподвижным (б)
катетами vj и \'2 равен л/2 (рис. 129а). Однако законов сохранения энергии и импульса недостаточно для определения направления векторов v| и \'2 относительно направления движения налетающей частицы. Для того чтобы определить эти направления, нужно знать закон взаимодействия между частицами и их взаимное положение в момент столкновения.
Система центра масс. В общем случае частиц с разными массами применение законов сохранения к изучению процесса столкновения удобно интерпретировать геометрически. Для этого перейдем из лабораторной инерциальной системы отсчета, в которой частица-мишень до столкновения покоится, в другую инерциальную систему отсчета, в которой центр масс сталкивающихся частиц покоится как до столкновения, так и после. Эта система отсчета движется относительно лабораторной с такой же скоростью, как и центр масс:
