Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
и центр Земли (рис. 125). Интересующая нас точка наибольшего удаления от центра Земли — апогей — лежит на противоположном конце большой оси, и скорость ракеты t>2 в этой точке, разумеется, отлична от нуля и направлена перпендикулярно большой оси эллипса.
Для нахождения значения г2 опять можно воспользоваться законом сохранения энергии:
"IV о
— mgR
mgR
(3)
Рис. 125. Эллиптическая орбита при горизонтальном направлении начальной скорости
Уже отсюда легко увидеть, что максимальное удаление ракеты г2 в этом случае будет меньше, чем rv Уравнение (3) содержит две неизвестные величины v2 и г2 и поэтому имеет бесчисленное множество решений. Что бы это могло означать? Перечитав еще раз наши рассуждения, легко заметить, что в уравнение закона сохранения энергии не вошли никакие признаки, которые характеризовали бы точку г2 как точку наибольшего удаления. Точно такое же уравнение мы получили бы и для любой другой точки траектории. Заметим, что в первом случае (при вертикальном запуске ракеты) точка максимального удаления была уже выделена в уравнении закона сохранения энергии, так как только в этой точке кинетическая энергия ракеты обращается в нуль.
Какое же условие следует добавить к уравнению баланса энергии во втором случае, чтобы учесть особенности точки наибольшего удаления, отличающие ее от всех других точек траектории? Мы уже заметили, что в этой точке скорость перпендикулярна направлению на центр Земли. Точно таким же свойством обладает и на-
§ 36. КОСМИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
219
чальная точка траектории: по условию начальная скорость ракеты v0 перпендикулярна направлению на центр Земли. Во всех остальных точках траектории это не так. Этот факт позволяет в простом виде применить второй закон Кеплера о постоянстве секторной скорости при движении в центральном поле:
Теперь мы имеем систему уравнений для определения v2 и г2, причем из наших рассуждений вытекает, что эта система должна иметь два решения, соответствующих перигею и апогею. Легко убедиться, что после подстановки v2 = v0R/r2 уравнение баланса энергии превращается в квадратное уравнение относительно г2, корни которого равны R и r2 = v^R/(2gR — v^). Сравнивая г2 с rv получаем
Обратим внимание на то, что расстояние г2 от центра Земли до апогея оказалось таким же, как высота максимального подъема над поверхностью Земли тела, брошенного вертикально вверх с такой же скоростью v0. Это можно увидеть как из формулы (7) § 33, так и из полученного в данной задаче значения rv если вычесть из него радиус Земли R.
Такое совпадение не случайно. Вертикальный подъем с последующим падением можно рассматривать как движение по предельно сжатой эллиптической орбите вокруг того же ньютоновского силового центра. Этой сжатой орбите соответствует такая же энергия, как и рассмотренной орбите при горизонтальном запуске, так как в обоих случаях запуск производится с поверхности Земли с одной и той же начальной скоростью. Здесь мы сталкиваемся с частным случаем общей закономерности движения в центральном поле тяготения, согласно которой все замкнутые орбиты с одной и той же энергией представляют собой эллипсы с одинаковыми большими осями. Напомним, что у выродившегося в отрезок прямой эллипса фокусы расположены на концах этого отрезка.
Пример 2. Маневрирование на орбите. Два космических корабля движутся вокруг Земли по одной и той же круговой орбите на расстоянии L друг от друга, считая вдоль траектории. Период их обращения равен Т. Как сблизить корабли на орбите, если одному из них с помощью двигателя можно практически мгновенно сообщить некоторую дополнительную скорость Av, малую по сравнению со скоростью движения по орбите и направленную по касательной к траектории? Как требуемая для сближения кораблей скорость Av выражается через заданные значения L и Г?
v0R = v2r2.
220
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
На рис. 126 показана круговая траектория радиуса г{, по которой движутся корабли на расстоянии L друг от друга. Если в произвольной точке А кораблю сообщить дополнительную скорость Av в направлении орбитального движения, то он будет двигаться по эллиптической орбите 1 с фокусом в центре Земли. Период обращения по такой орбите, очевидно, больше, чем по исходной круговой. Если же дополнительную скорость Av в точке А направить против движения по орбите, то корабль перейдет на эллиптическую орбиту 2, период обращения по которой меньше Т.
Отсюда становится ясно, какие маневры следует выполнить для сближения кораблей. Прежде всего отметим, что поскольку круговая и эллиптические орбиты имеют только одну общую точку А, встреча кораблей может произойти только в этой точке. Поэтому такая встреча может произойти только через промежуток времени после срабатывания двигателя, кратный периоду обращения спутника по эллиптической орбите. Если включается двигатель на корабле, идущем впереди (именно этот случай показан на рис. 126, где второй корабль находится в точке В позади первого), то его нужно разогнать, переводя на орбиту I. Если же включается двигатель на втором корабле, идущем сзади, то его нужно тормозить, переводя на орбиту 2. Обратите внимание на кажущийся парадокс: чтобы догнать, нужно притормозить!
