Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Удачный выбор используемой инерциальной системы отсчета, как и при решении задач кинематики и динамики, может существенно облегчить составление уравнений при использовании законов сохранения. В качестве примера рассмотрим следующую задачу.
4. Сквозь движущуюся доску. Пуля массы т, летящая горизонтально со скоростью vo, пробивает насквозь доску толщины d, которую перемещают с постоянной скоростью и навстречу пуле. При движении внутри доски пуля испытывает действие постоянной силы сопротивления F. С какой скоростью и пуля вылетит из доски?
Решение. Очевидно, что о законе сохранения импульса при решении данной задачи говорить не приходится, ибо по условию доска движется с
заданной постоянной скоростью, несмотря на то, что на нее действует сила со стороны пробивающей ее пули. При составлении уравнения баланса энергии следует учитывать только кинетическую энергию пули, ибо потенциальная энергия в поле тяжести при горизонтальном полете неизменна.
Изменение кинетической энергии пули при пробивании доски равно работе силы сопротивления F:
и? mvl
mv*
~2
-Fs,
(12)
Рис. 124. Пуля пробивает до ску, движущуюся навстречу
где s — модуль перемещения пули в лабораторной инерциальной системе отсчета за то время, пока пуля движется внутри доски и на нее действует сила сопротивления F. Очевидно, что s меньше, чем толщина доски d, поскольку доска движется навстречу пуле. Техническое усложнение при решении этой задачи в лабораторной системе отсчета возникает из-за необходимости определить значение s.
При действии постоянной силы F пуля движется внутри доски с постоянным ускорением. Поэтому средняя скорость пули в доске равна (и0 + и)/2, а время движения — 2s/(u0-t-v). Доска за это время проходит
§ 35. ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ 213
расстояние d — s (рис. 124), двигаясь с постоянной скоростью и. Поэтому .справедливо равенство
2 s _ d — s и0 + V и
откуда
. v0 + v s = а ¦
vn + v + 2и'
Подставляя это значение в уравнение (12), приходим к квадратному уравнению ДЛЯ ИСКОМОЙ СКОрОСТИ I):
и2 + 2 uv — vi — 2 v0u + = 0.
и и т
Отсюда находим
Г I 2Fd
' = — и ± "у (и0 + и)7
т
причем физический смысл имеет только корень
~Г Г? 27У (13)
„=-м + ^(„о + м)2-—.
В другой системе отсчета. Решение этой задачи значительно упрощается, если перейти в другую инерциальную систему отсчета, в которой доска неподвижна. В этой системе отсчета скорость пули до встречи с доской равна v0 + и. Путь, проходимый пулей в доске, равен ее толщине d, так как доска неподвижна. Обозначив скорость пули на выходе из доски через и1, запишем уравнение баланса энергии в этой системе отсчета:
mv'2 m(v0 + иУ (14)
Fd-
Отсюда
= ^. , 2 Fd (15)
10’0 + «)2 т
Для скорости v вылетевшей пули в лабораторной системе отсчета, равной t) = t/ — и, получаем, разумеется, прежнее значение (13).
Обратим внимание на то, что подкоренное выражение в (13) или (15) положительно при условии, что пуля действительно пробивает доску насквозь. Использование удачно выбранной системы отсчета не только упрощает математические выкладки, но и облегчает отбор решений, имеющих физический смысл. Действительно, при переходе от (14) к (15) нам не придет в голову рассматривать отрицательное значение квадратного корня (что соответствовало бы движению пули не от пробитой ею доски, а наоборот, к доске), в то время как при отборе имеющего физический смысл корня (13) квадратного уравнения такой вопрос неизбежно возникает.
5. Парадокс кинетической энергии. Два автомобиля движутся по шоссе с одинаковой скоростью v. В некоторый момент один из автомобилей (А) начинает разгон и приобретает скорость v относительно второго автомобиля (В), в то время как второй автомобиль продолжает двигаться с прежней скоростью и относительно Земли. Для наблюдателя, находящего-
214
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
ся в автомобиле В, увеличение кинетической энергии автомобиля А равно mv1!2, где т — масса автомобиля. Для наблюдателя, стоящего на земле, кинетическая энергия автомобиля А за время разгона увеличивается от mv1!2 до т (2v) 2/2 = 4 (mv2l2), так что ее приращение составляет 3(mv2/2). Между тем в обеих системах отсчета увеличение кинетической энергии произошло за счет сгорания одного и того же количества бензина. Как объяснить этот парадокс?
