Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
• С какими свойствами симметрии пространства и времени связаны законы сохранения импульса и энергии?
204
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
• Покажите, как третий закон Ньютона для взаимодействий любой природы можно обосновать, основываясь на однородности физического пространства.
д Сохранение энергии и однородность времени. Приведенный ранее вывод закона сохранения механической энергии фактически был основан на интегрировании в общем виде уравнений динамики (второго закона Ньютона). Именно так была получена теорема о кинетической энергии. Можно дать другое доказательство закона сохранения энергии, основанное на представлении об однородности времени.
Энергия замкнутой системы является функцией ее механического состояния, т. е. зависит от радиусов-векторов г;, и импульсов рг, входящих в систему частиц и не зависит явно от времени: Е = ?(гг, р(). Она представляет собой сумму кинетической энергии ?к(рг), зависящей от импульсов частиц, и потенциальной энергии Еп(гг), зависящей от их положения:
E(ri,pi)=EK(Pi)+En(ri). (2)
Продифференцируем энергию по времени, учитывая, что гг и рг меняются со временем:
c(? = v (dE.^l,dE.^2i) /оч
dt dt dp dt J'
При дальнейшем преобразовании этого выражения учтем, что dxildt = yi\ dpt/dt = Fj в соответствии со вторым законом Ньютона (здесь Ff — равнодействующая всех сил, действующих на г-ю частицу); дЕ/дгг = дЕп/дгг = —F(;noT) — градиент потенциальной энергии, определяющий действующую на г-ю частицу потенциальную силу; наконец, дЕ/дрг = dEK/dpt = рt/m = \jt что следует из явного выражения для кинетической энергии EK = '?pj/(2mi). Подставляя эти соотношения в (3), приходим
i
к равенству
^ = 2(р(непот ).у.)1 (4)
i
где F(;MenoT-) — непотенциальная сила, действующая на г-ю частицу: F(HenoT) = F; — F^noT\ Согласно (4) скорость изменения механической энергии замкнутой системы равна мощности действующих в системе непотенциальных сил. При отсутствии таких сил система консервативна и ее механическая энергия сохраняется: dE/dt = О, Е = const.
§ 34. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И СИММЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ 205
В этом выводе однородность времени проявилась в том, что энергия системы считалась не зависящей от времени явно. В противном случае в правой части выражения (3) появилось бы еще одно слагаемое dE/dt, учитывающее эту зависимость. Мы получили бы dE/dt *=¦ 0, и энергия системы не сохранилась бы.
Симметрия при масштабных преобразованиях. Следствия свойств симметрии не всегда проявляются так наглядно и просто, как в разобранных выше случаях. Симметрия присуща не только пространству и времени, но и самой физической системе. Проявления симметрии могут быть весьма неожиданными и обнаруживать себя в завуалированной форме.
Определенная симметрия характерна и для физических законов, устанавливающих соотношения между характеристиками систем или их изменениями со временем. Она заключается в инвариантности (неизменности) законов или выражающих их уравнений при определенных преобразованиях, которым могут быть подвергнуты физические системы. Одним из таких преобразований является так называемое масштабное преобразование, при котором координаты и время изменяются в определенное число раз:
где аир — заданные числовые множители.
Выясним, как при таком преобразовании координат и времени преобразуется энергия системы, равная сумме кинетической и потенциальной энергий. При неизменной массе кинетическая энергия, пропорциональная квадрату скорости, очевидно, преобразуется следующим образом:
Чтобы сказать, как преобразуется потенциальная энергия, нужно знать, как она зависит от координат. Напомним, что потенциальные энергии тела в однородном поле тяжести, в ньютоновском поле тяготения и потенциальную энергию упруго деформированной пружины можно записать как определенную функцию координат:
если для каждой из них выбрать начало отсчета соответствующим образом. Это значит, что зависимость каждой из них от соответствующей координаты г (где под г нужно понимать соответственно А, г или А/) имеет степенной характер:
(5)
(6)
ЕП(г) « г",
(7)
206
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
где п = 1 для однородного поля, п = — 1 для ньютонова поля тяготения и п = 2 для упругой пружины.
Из (7) следует, что любая из приведенных потенциальных энергий преобразуется как
Легко видеть, что при определенном выборе а и (3, таком, что (а/р)2 = а", т. е. при
полная механическая энергия преобразуется следующим образом:
Вот здесь-то и начинается самое интересное.
Физическое подобие. Преобразование энергии (10) при преобразовании координат и времени по формулам (5) можно трактовать просто как изменение масштабов используемых единиц длины и времени в заданной физической системе.
Но это же преобразование (10) можно рассматривать и как преобразование энергии при изменении самой физической системы, считая единицы измерения прежними. Например, можно мысленно увеличить все расстояния в несколько раз. Скажем, можно увеличить вдвое радиус орбиты, по которой планета обращается вокруг Солнца, или втрое увеличить высоту, с которой свободно падает тело в однородном поле тяжести Земли, или вчетверо увеличить растяжение пружины. Если при этом время тоже изменить согласно второй из формул (5), причем коэффициент р выбрать в соответствии с (9), то по виду преобразования энергии (10) мы не сможем определить, которая из упомянутых двух возможностей была реализована.
