Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Выражаемый формулой (7) ответ имеет смысл лишь тогда, когда правая часть не превосходит единицы. Для этого начальная скорость v0 должна удовлетворять условию Vq < gR . При Uq = gR начальная скорость шайбы достаточна для того, чтобы отрыв от поверхности купола произошел сразу в верхней точке. При > gR выражение (7) уже не имеет смысла, однако ответ совершенно ясен: отрыв шайбы происходит в верхней точке купола (при а0 = 0) и дальнейшее ее движение происходит по параболе, как в случае тела, просто брошенного горизонтально с начальной скоростью и0. При Vq = gR параболическая траектория имеет в верхней точке такую же кривизну, как и поверхность купола.
Используя закон сохранения энергии для механических систем, где действуют силы трения, следует помнить о том, что их проявление нетривиально и не всегда сводится к уменьшению (диссипации) механической энергии системы. В этом отношении весьма поучительна следующая задача.
3. На обледенелой горне. Автомобиль не может стоять на обледеневшем склоне, когда коэффициент трения (л < tg а. До какой скорости v нужно предварительно разогнать автомобиль, чтобы он мог с разгона подняться по этому склону до высоты Л? Если высота горы окажется больше и автомобиль не «дотянет» до ее вершины, то какова будет его скорость, когда он с работающим двигателем сползет вниз и снова окажется у основания горы?
Решение. Действующие на автомобиль силы здесь находятся так же, как и для любого тела на наклонной плоскости: это сила тяжести mg, нормальная сила реакции, модуль которой равен mg cos а, и сила трения, мо-
§ 35. ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ
дуль которой при проскальзывании колес, очевидно, равен |xmg cos а. Однако здесь эта сила трения ведущих колес о дорогу направлена вверх по склону и при подъеме автомобиля в гору совершает положительную работу.
Хотя при известных силах задачу можно решить динамически, проще сделать это с помощью закона сохранения энергии. Приравняем изменение полной механической энергии за время подъема от подножья горы, где автомобиль имел скорость и, до высоты h, где его скорость обратилась в нуль, работе силы трения |xmg cos а на пути I = hi sin а:
mgh — = \xmgh ctg а. (8)
Отсюда для квадрата необходимой скорости разгона получаем
v2 = 2gh(\ — ctg а). (9)
Этот ответ справедлив, разумеется, лишь тогда, когда сила трения не в состоянии удержать автомобиль на склоне, т. е. когда |л < tg а. Из ответа (9) видно, что трение ведущих колес о склон действительно помогает преодолеть подъем: при отсутствии трения нужен был бы разгон до скорости г = \]2gh. Именно это и дает формула (9) при |л = 0. Из этой формулы также видно, что для подъема на одну и ту же высоту h нужна тем большая скорость разгона, чем круче склон. На более пологом склоне и сама сила трения больше, и длиннее перемещение, на котором она совершает положительную работу.
Если автомобиль остановился, не достигнув вершины, то при |я < tg а он будет сползать вниз даже при работающем двигателе. Сила трения пробуксовывающих колес о склон будет теперь совершать отрицательную работу. Скорость v, которую автомобиль будет иметь у основания, снова можно определить с помощью закона сохранения энергии. Так как наверху он имеет только потенциальную энергию mgh, а внизу — только кинетическую mv'/2, то
mgh = -\xmgh ctg а (10)
Отсюда для г/ находим
v'2 = 2gh (1 — |я ctg а). (11)
Сравнивая (11) и (9), замечаем, что скорость v сползшего со склона автомобиля совпадает со скоростью v, до которой он был разогнан перед началом подъема. Хотя этот результат может показаться и неожиданным, но, немного подумав, можно прийти к выводу, что именно так и должно быть. Более того, в этом можно убедиться из самых общих соображений, вообще не выписывая никаких формул. Дело в том, что в данном случае сила трения ведущих колес о склон не меняет своего направления при изменении направления движения автомобиля. В этом заключается ее принципиальное отличие от обычной силы трения скольжения, направленной противоположно скорости.
В рассматриваемом примере наличие трения эквивалентно дополнительному силовому полю, которое как бы уменьшает направленную вдоль склона составляющую потенциальной силы тяжести. Поэтому при той же начальной скорости автомобиль поднимается по склону на большую высоту, чем в отсутствие трения, а соскользнув назад к подножию, приоб-
212
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
ретает ту же скорость, что и перед подъемом. Это, конечно, не означает, что система консервативна и в ней не происходит диссипации механической энергии, т. е. превращения ее в теплоту: пробуксовывающие колеса и поверхность дороги нагреваются. Восполнение потерь механической энергии обеспечивает работающий двигатель.
Отметим, что в этой и в предыдущей задачах закон сохранения импульса не используется. В этих случаях он был бесполезен потому, что во взаимодействии с рассматриваемыми телами участвовало «большое тело» — Земля, которое считалось неподвижным. Изменением кинетической энергии Земли можно было пренебречь из-за ее огромной массы. В то же время участие Земли в рассматриваемых процессах автоматически обеспечивало выполнение закона сохранения импульса для всей системы. Сказанное справедливо в тех случаях, когда используется система отсчета, где Земля неподвижна. Ниже мы подробнее остановимся на вопросе о том, как быть, когда в выбранной системе отсчета Земля движется.
