Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Симметрия по отношению к этим возможностям трактовки формулы (10) означает, что при реальном изменении линейных размеров физической системы в а раз все характерные времена в ней изменятся в р раз, где р=а1~',/2 в соответствии с (9): t'/t — (г'/г)1~п,г. В частности, при п= 1 имеем t'/t = (r'/r)ll2\ видно, что в однородном поле время падения с вдвое большей высоты будет больше в V2 раз. При п=— 1 имеем t'/t= (r'/r)3/2, что соответствует третьему закону Кеплера: квадраты периодов пропорциональны кубам линейных размеров геометрически подобных орбит. При п = 2 получаем t'/t =1 — характерное время (период) при колебаниях груза на упругой пружине не зависит от размаха этих колебаний (амплитуды).
Таким образом, использование симметрии физических законов по отношению к масштабным преобразованиям позволяет
(8)
Р= а1~пП,
(9)
Е-^Е = апЕ.
(Ю)
§ 35. ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ 207
найти связь пространственных и временных характеристик движения без обращения к законам динамики.
• В чем проявляется симметрия физических законов по отношению к масштабным преобразованиям?
• Кинооператор снимает сцену взрыва моста на модели в одну десятую натуральной величины. Как следует изменить частоту кадров при съемке, чтобы в кинофильме сцена выглядела правдоподобно? к
§ 35. Применение законов сохранения при решении задач
В большинстве практически интересных случаев при решении задач приходится использовать как закон сохранения импульса, так и закон сохранения энергии. В тех случаях, когда ответ удается получить, используя лишь один из этих законов, нужно обязательно выяснить, выполняется ли при этом второй, и если не выполняется, то почему.
Задачи
1. Диск на пружине. На пружине жесткости к висит горизонтальный диск массы М, на который с высоты h падает кольцо массы т и прилипает к диску (рис. 122). На какое максимальное расстояние сместится диск из своего первоначального положения?
Решение. Сразу отметим, что одним законом сохранения энергии здесь не обойтись, так как при неупругом ударе кольца о диск, когда оно прилипает к диску, механическая энергия не сохраняется. Тем не менее закон сохранения энергии использовать можно, но только с того момента, как диск с прилипшим к нему кольцом уже движется как одно целое. Их общую скорость V в этот момент можно найти с помощью закона сохранения импульса. Так как в момент удара кольцо, упавшее с высоты h, имеет скорость v = \/2gh, то
m.'llgh = (т + М) V.
При дальнейшем движении происходят взаимные превращения кинетической и потенциальной энергии, причем здесь потенциальная энергия системы включает в себя потенциальные энергии диска и кольца в поле тяжести Земли и потенциальную энергию упруго деформированной пружины. Составляя уравнение баланса энергии, следует учесть, что в момент удара пружина уже растянута под действием веса диска на ха = Mglk и, следовательно, обладает потенциальной энергией кхУ2.
Рис. 122. Колебания диска на пружине
208
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Будем отсчитывать расстояние х вниз от первоначального положения диска. Учитывая, что в момент максимального отклонения вниз скорость диска с кольцом обращается в нуль, имеем
(т +M)V2 , кх\ , , , Цх + х0У
----2-----+ — =—{m + M)gx-\------------2---• (2)
Знак «минус» в члене для потенциальной энергии в поле тяжести связан с выбранным направлением отсчета смещения х. Наличие х0 во втором слагаемом в правой части соответствует тому, что полное растяжение пружины в крайней точке равно х + х0. Подставляя в (2) V из (1) и значение х0 = Mg/k, приходим к квадратному уравнению для х. Решая это уравнение, находим
i.^'ng4_.j(mg)2 2m*gh (3)
к V ^ к j к(т +М) '
Каков смысл второго (отрицательного) корня в (3)? Легко сообразить, что после прилипания кольца к диску дальнейшее их движение представляет собой колебание около некоторого нового положения равновесия = mg/k. Положительный корень дает интересующее нас максимальное смещение диска вниз из начального положения, а отрицательный — максимальное смещение вверх при последующих колебаниях. При этом диск поднимается выше своего первоначального положения. Хотя при составлении уравнения закона сохранения энергии (2) мы не задумывались над возможностью таких колебаний, уравнение автоматически выдало нам второй корень, ибо все, что в него было заложено об интересующей нас точке, — это обращение в нуль скорости, а значит, и кинетической энергии системы. Но скорость обращается в нуль как в нижней, так и в верхней точках максимального отклонения.
Видно, что выражение (3) удовлетворяет очевидному предельному случаю h = 0: если кольцо просто положить на диск, то, опускаясь вместе с кольцом, он проскочит новое положение равновесия хх = mg/k на такое же расстояние вниз и затем при колебаниях будет возвращаться до прежней высоты.
