Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
mv2 mv\ pi
~2-----Г=2^’ ^-
Отсюда, учитывая кинематическое соотношение v2 — i>g = 2a Al, снова получаем выражение (14): ускорение не зависит от скорости цепочки и определяется только разностью высот ее концов. Когда начало и конец цепочки находятся на одном уровне, ее ускорение равно нулю, как бы причудливо ни была изогнута трубка.
В частном случае прямолинейной трубки формула (14) описывает поведение тела на наклонной плоскости в отсутствие трения: ускорение тела постоянно и равно g sin а, так как отношение hll равно синусу угла а наклона плоскости к горизонту.
4. Наклонная плоскость. Груз массы т медленно втаскивают по наклонной плоскости на высоту h за трос, параллельный наклонной плоскости (рис. 121). Сила натяжения троса совершает при этом некоторую работу А. Какую скорость наберет груз в конце наклонной плоскости, если отпустить трос?
200
Ш. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Решение. Очевидно, что заданная в условии задачи работа А не может быть меньше mgh. В противном случае оказался бы нарушенным закон сохранения энергии.
Если А = mgh, то система консервативна, трение в ней отсутствует и, спустившись до конца наклонной плоскости, груз наберет такую же по модулю скорость, как и при свободном падении с высоты h: v = V2gh. Если А > mgh,
то механическая система не является консервативной и, применяя к ней закон изменения механической энергии, необходимо учитывать работу сил трения.
Эту задачу можно решить непосредственно с помощью законов динамики, так как все действующие силы здесь постоянны. Однако использование энергетических представлений облегчает получение ответа, делая выкладки более компактными. Запишем сначала закон изменения энергии для подъема груза на высоту h. Так как по условию задачи скорость груза мала, то его кинетической энергией можно пренебречь. Поэтому
mgh = A + ATp. (15)
Работа силы трения здесь отрицательна, так как эта сила направлена про-
тивоположно перемещению.
Рассмотрим теперь спуск груза. На высоте h груз обладал потенциальной энергией mgh, а в конце, у основания наклонной плоскости, он обладает только кинетической энергией mv2l2. Изменение полной механической энергии груза равно работе сил трения. Эта работа будет такой же, как и при подъеме, ибо здесь такая же по модулю сила трения направлена противоположно перемещению. Поэтому
— mgh = Д.р. (16)
Подставляя в (16) A,.p из (15), получаем
= 2mgh — А, т. е. v — ^4gh — ~. (17)
Обратим внимание на то, что соотношение (17) имеет смысл только при выполнении условия A>2mgh. Поэтому приведенный ответ (17) справедлив, когда
mgh < А < 2mgh.
Хотя при А < mgh выражение (17) формально сохраняет смысл, оно
дает конечную скорость v > Vi~gh, что невозможно. Подумайте над тем,
какой физической картине соответствует случай А > 2mgh, для которого ответ (17) теряет смысл.
Задачи для самостоятельного решения
1. От неподвижного груза, висящего на пружине с жесткостью к., отваливается часть, имеющая массу т. На какую высоту поднимется после этого оставшийся груз?
Рис. 121. Груз на наклонной плоскости
§ 34. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И СИММЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ 201
2. В результате трения в верхних слоях атмосферы механическая энергия спутника Земли за много витков уменьшилась на 2%. Орбита спутника при этом как была, так и осталась круговой. Как изменились параметры орбиты: радиус г, скорость и, период обращения Т? Потенциальная энергия спутника считается равной нулю на бесконечно большом расстоянии от Земли.
• Что такое механическая энергия системы взаимодействующих частиц? Сформулируйте закон ее изменения.
• Могут ли внутренние силы изменить механическую энергию системы?
• Входит ли в механическую энергию системы взаимодействующих тел потенциальная энергия этих тел во внешнем поле? Как формулируется закон изменения механической энергии при наличии внешних потенциальных сил?
• Как формулируется закон изменения механической энергии системы, если в эту энергию не включена потенциальная энергия тел в заданном внешнем поле?
• При каких условиях механическую систему можно считать консервативной?
• При каких значениях начальной скорости v0, вычисляя максимальную высоту подъема по формуле h — vy(2g), мы ошибаемся не более чем на 1%?
• Докажите, что в задаче 4 при А > 2mgh груз останется неподвижно лежать на наклонной плоскости, если отпустить трос.
§ 34. Связь законов сохранения с симметрией пространства и времени
Законы сохранения энергии и импульса, как и законы Ньютона, выполняются в любых инерциальных системах отсчета. Другими словами, эти законы удовлетворяют механическому принципу относительности. Хотя и механическая энергия, и импульс рассматриваемой системы материальных точек имеют разные значения в разных системах отсчета, их изменение во всех инерциальных системах отсчета описывается одними и теми же законами.
