Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
тела т. Тем не менее попробуем учесть его аккуратно.
Обозначая скорость Земли после удаления тела на бесконечность через и,, запишем закон сохранения энергии в виде
^ + (15)
Скорость тела в конечном состоянии теперь равна vv ибо тело, как и раньше, должно быть неподвижно относительно Земли. Скорость vx можно найти с помощью закона сохранения импульса, поскольку в отсутствие внешних сил, т. е. в замкнутой системе взаимодействующих тел, полный импульс сохраняется. Поэтому
Mv + m(Vu + v) = Mvx + mvv (16)
Находя и, из уравнения (16) и подставляя в (15), получим
У2и= U +тй-2*л 0?)
Это выражение уже гораздо ближе к прежнему результату, чем (14), но все-таки отличается от него лишним множителем 1 + т/М.
226
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Заметим, что если считать массу тела много меньше массы Земли, т. е. т/М« 1, то слагаемым т/М можно пренебречь по сравнению с единицей и формула (17) дает прежний результат Vn = V2gR. Нетрудно сообразить, что предположение т/М—* 0 с самого начала было неявно использовано при решении задачи в системе отсчета, связанной с Землей. Действительно, Земля считалась неподвижной как в начальном, так и в конечном состоянии, несмотря на то, что на нее, как и на тело, действовала сила тяготения. Это возможно, только если т/М—*0.
Итак, выражение (17) является более общим, чем (1). Оно дает возможность определить вторую космическую скорость в том случае, когда массы запускаемого тела и Земли сравнимы между собой. Однако теперь возникает другой вопрос. Почему пренебрежение изменением кинетической энергии Земли (при т/М—*0) в геоцентрической системе отсчета допустимо, а в гелиоцентрической приводит к явно неверному результату (14)? Ведь изменение скорости Земли одинаково в любой инерциальной системе отсчета. В этом легко убедиться, переписав формулу (16) в несколько ином виде:
Видно, что изменение скорости Земли Av = vy — v не зависит от ее начальной скорости v, т. е. от выбора системы отсчета. Однако изменение кинетической энергии Земли в разных системах отсчета будет разным: в геоцентрической системе это М(Av)2/2, а в гелиоцентрической —
При т«М, как видно из (18), Av«Vu. Далее, поскольку скорость v больше второй космической скорости, то первое слагаемое в правой части (19) много больше второго, т. е. изменение кинетической энергии в гелиоцентрической системе много больше этого изменения в геоцентрической и его нельзя не учитывать в уравнении баланса энергии.
Разумеется, формула (17) может быть получена и в геоцентрической системе отсчета, если там учесть изменение кинетической энергии Земли. Разобранный пример поучителен. Он наглядно показывает, с какой осторожностью нужно подходить к вопросу о том, что существенно в рассматриваемом явлении, а чем можно пренебречь. Все инерциальные системы отсчета равноправны в том смысле, что законы природы в них одинаковы. Поэтому при точном решении задачи выбор такой системы безразличен. Однако при нахождении приближенного решения пренебрежения, допустимые в одной системе отсчета, могут оказаться совершенно непригодными в другой.
mVn = (т + M)(vy — v).
(18)
M(v + Дч)2 2
(19)
§ 36. КОСМИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
227
Третья космическая скорость. Перейдем теперь к определению третьей космической скорости Vm, т. е. минимальной скорости, которую нужно сообщить телу вблизи поверхности Земли для того, чтобы оно смогло покинуть пределы Солнечной системы. Будем рассуждать следующим образом. Забудем на время о земном тяготении и найдем минимальную скорость vt, которую нужно сообщить телу, находящемуся от Солнца на расстоянии г, равном радиусу земной орбиты, чтобы оно смогло преодолеть притяжение Солнца. Эту скорость легко найти, используя закон сохранения энергии.
Поскольку мы пока пренебрегаем полем тяготения Земли, то нужно просто потребовать, чтобы сумма кинетической энергии тела mvf/2 и потенциальной энергии в поле тяготения Солнца
— GmMc/r равнялась нулю: тело должно остановиться на бесконечно большом расстоянии от Солнца, где потенциальная энергия обращается в нуль. Отсюда
Легко видеть, что эта скорость в VT раз больше скорости Земли
f = = 29,8 км/с. Тело удалится на бесконечность неза-
висимо от того, в каком направлении сообщена ему скорость ft. Итак, равна приблизительно 42,1 км/с. Это очень много, однако, разумеется, мы можем использовать движение Земли и запустить тело в ту же сторону, куда движется Земля по орбите. Тогда телу нужно сообщить добавочную скорость, равную
Теперь нетрудно найти и саму третью космическую скорость. Для этого достаточно только сообразить, что на самом деле скорость 12,3 км/с тело должно иметь после того, как оно преодолеет притяжение к Земле. Поэтому сумма кинетической энергии тела при запуске mV\n/2 и потенциальной энергии на поверхности Земли — mgR должна равняться кинетической энергии движения со скоростью 12,3 км/с после преодоления земного тяготения:
