Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Другой интересный предельный случай: М = 0. В этом случае неупругого удара как такового нет и закон сохранения энергии справедлив для всего процесса в целом, начиная с момента падения кольца с первоначальной высоты h. Учитывая, что при М = 0 пружина перед ударом не деформирована, имеем
кх^
mgh = —mgx + —.
Корни этого уравнения даются формулой (3) при М = 0.
Переопределение потенциальной энергии. Обратим внимание на то, что в этой задаче фактически можно обойтись без рассмотрения двух видов потенциальной энергии. Дело в том, что действие постоянной силы на пружину, в данном случае веса диска с кольцом, приводит лишь к смещению положения равновесия, не изменяя жесткости к пружины. При этом можно считать, что в системе остается только одна упругая сила, пропорциональная смещению х — хх из нового положения равновесия, а
§ 35. ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ 209
сил тяжести уже нет. Соответственно остается только связанная с этой новой упругой силой потенциальная энергия, отсчитываемая от нового положения равновесия. Теперь уравнение баланса энергии записывается в виде
(m + M)F2 кх\ Ш-*,)2
2 + 2 ~ 2
что, конечно, совпадает с (2).
Прежде чем перейти к очередной задаче, отметим следующее обстоятельство. Иногда из общих соображений нам удается представить себе качественную картину рассматриваемых в задаче явлений. При этом, однако, может оказаться, что попытки рассчитать движение количественно, исходя из уравнений динамики, наталкиваются на почти непреодолимые математические трудности. Конечно, всегда можно попытаться решить уравнения движения численно с помощью компьютера, но при этом резко сужаются возможности исследования в общем виде разных возможных случаев. Именно здесь и уместно использование законов сохранения.
2. Соскальзывание с купола. На вершине полусферического купола радиуса R находится шайба, которая может скользить по поверхности купола без трения. Шайбе толчком сообщают скорость vo в горизонтальном направлении. В какой точке купола шайба оторвется от его поверхности?
Решение. Без всяких вычислений можно убедиться, что шайба обязательно оторвется от поверхности купола. Она не может скользить по поверхности до самого основания даже в том случае, когда начинает сползать с верхней точки купола без начальной скорости. В самом деле, из рис. 123 ясно, что у основания купола скорость шайбы была бы направлена вертикально вниз. Но этого не может быть, ибо горизонтальная составляющая силы реакции N в течение всего движения по куполу направлена в одну сторону.
Второй закон Ньютона, позволяя так просто выявить качественную картину движения шайбы по куполу, оказывается малопригодным для нахождения движения в аналитическом виде, ибо, как ясно из того же рис. 123, ускорение шайбы непостоянно.
Запишем проекцию уравнения второго закона Ньютона на радиальное направление для момента времени, когда шайба находится на поверхности купола в точке, положение которой задается углом а:
а/ ту1 (4)
mg cos а — N ——Б~. v
К
Отметим, что это уравнение записано в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей, причем ось, на которую выполнено проецирование уравнения второго закона Ньютона, неподвижна, хотя и имеет свое направление для каждой точки купола. (Напомним, что с одной и той же инерциальной системой отсчета можно связать сколько угодно различных систем координат.)
Рис. 123. Соскальзывание шайбы с полусферического купола
210
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Точка отрыва шайбы от купола определяется условием обращения в нуль силы N реакции опоры:
N = 0.
Поэтому в точке отрыва а0 из уравнения (4) имеем
v2 (5)
g cos а0 = —.
Если бы была установлена скорость v в момент отрыва, то выражение (5) и давало бы ответ на вопрос задачи.
Связать скорость шайбы и в любой момент времени с ее положением
на куполе можно с помощью закона сохранения энергии, так как в от-
сутствие трения рассматриваемая механическая система консервативна. Выбирая начало отсчета потенциальной энергии, например, в верхней точке купола, имеем
mvl mv1 (6)
—xj— = —2-----mgR (1 — cos a).
Подставляя сюда v2 из (5), для точки отрыва получаем
2 . vl (7)
cos а° = з + з1^
В частном случае v0 = 0, когда шайба начинает соскальзывать без начальной скорости, cos а0 = 2/3. Точка отрыва находится на высоте двух третей радиуса от основания купола.
