Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
mlvl + m2v2 = (ml + m2)v, (14)
(mt + m2)v = m^i + m2v'2. (15)
Кинетическая энергия частиц имеет одно и то же значение только перед столкновением и после разлета. При сближении частиц кинетическая энергия частично превращается в потенциальную энергию их взаи-
модействия, которая при упругом столкновении затем снова превращается в кинетическую. Поэтому для закона сохранения энергии в данном случае можно написать лишь одно уравнение:
Обратим внимание на то, что в систему трех уравнений (14) —(16) фактически входит только отношение масс частиц у = mjm2. Поэтому из нее можно найти все три неизвестные величины. Благодаря симметрии этой системы уравнений относительно замены начальных скоростей и v2 на конечные t/j и v'2 (что отражает обратимость во времени процесса упругого столкновения) сразу видно, что у нее есть решение = v'2 = v2, а 7 — произвольное. Это решение, очевидно, не представляет интереса, так как не отвечает процессу лобового столкновения. Нахождение имеющего смысл решения связано с довольно громоздкими алгебраическими преобразованиями. Проделайте их самостоятельно и убедитесь, что в результате получится
7 = — = ------, v\ = 2v — vl, v'2 — 2v — v2. (17)
m2vl — v
Поскольку 7 > 0, задаваемые в условии значения скоростей должны удовлетворять УСЛОВИЮ IJj < v < v2 или vt > v > v2.
В системе центра масс. К ответу можно прийти без утомительных алгебраических выкладок, если решать задачу в системе центра масс.
240
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Уравнение (14) закона сохранения импульса фактически говорит о том, что скорость v представляет собой скорость движения центра масс частиц в лабораторной системе отсчета, а уравнение (15) — о том, что эта скорость остается такой же и после столкновения. Очевидно, что скорости частиц в системе центра масс до столкновения равны ui — v и in — v. Так как в системе центра масс в результате лобового столкновения скорости частиц просто меняют свои направления на противоположные, то после столкновения скорости частиц равны v — щ и и — х>2. Чтобы найти теперь их значения в лабораторной системе отсчета, к каждой из них, очевидно, нужно прибавить скорость v центра масс. В результате получаем t>i = 2и — vi и i>2 — 2г> — т.
Обратим внимание на то, что при проведении рассуждений в системе центра масс нам не пришлось явно использовать значение отношения масс частиц у. Для ответа на соответствующий вопрос задачи его проще всего выразить через V, Vj и и2 из уравнения (14).
3. Столкновение автомобилей. Примером неупругого удара может служить столкновение автомобилей. Абсолютно неупругому удару соответствует случай, когда столкнувшиеся искореженные автомобили «сцепляются» друг с другом. Почему при лобовом столкновении тяжелого грузовика с легковым автомобилем гораздо большей опасности подвергаются пассажиры легкового автомобиля? Оцените, какие перегрузки испытывают пассажиры легкового автомобиля и водитель грузового.
Решение. Рассматривая такое столкновение, можно не учитывать взаимодействие автомобилей с покрытием дороги, так как силы сцепления колес с дорогой гораздо меньше сил, возникающих при деформации автомобилей. Другими словами, в этой задаче систему можно считать замкнутой, как если бы все это происходило на обледенелой дороге. Силы взаимодействия колес с дорогой определяют лишь время, в течение которого сцепившиеся автомобили продолжают двигаться до полной остановки. Но для ответа на вопросы задачи важно отнюдь не это время, а время, в течение которого выравниваются скорости сталкивающихся автомобилей.
Попробуем оценить это время. Предположим, что грузовик двигался со скоростью 60 км/ч, а легковой даже медленнее — со скоростью 40 км/ч. Обычно при лобовом ударе сильно деформированной оказывается передняя часть автомобиля, занятая мотором. Поэтому для оценки можно принять, что в результате столкновения автомобили «укорачиваются» на 1 м. Относительная скорость v автомобилей перед ударом была 100 км/ч,
а после неупругого удара она стала равной нулю. Принимая для просто-
ты, что автомобили замедлялись с постоянным ускорением, найдем необходимое для этого время:
. , Ах Ах 1м
At — — = ~я — ™----г = °-07 с-
иср VI2 50 км/ч
Дальнейшие рассуждения удобно проводить в системе отсчета, связанной с центром масс автомобилей, так как скорость центра масс за время удара At = 0,07 с практически не меняется. В этой системе отсчета после удара автомобили неподвижны. Их скорости t»r и vn до удара зависят не от того насколько быстро двигался каждый из них относительно земли, а от их относительной скорости v (100 км/ч) и отношения их масс
§ 37. СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ
241
7 = М/т. Очевидно, что т
