Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Путь при равнопеременном движении. Получим формулу, которая дает положение тела l(t) в момент времени t при равнопеременном движении. Рассмотрим малый промежуток времени At. Как следует из определения средней скорости vcp = As/At, пройденный
Рис. 38. Определение пути по графику Рис. 39. График движения с постоян-
скорости ным ускорением
за промежуток времени At путь As можно записать в виде As = vcpAt. Из рис. 38 видно, что путь As численно равен площади прямоугольной полоски с шириной основания At и высотой vcp. Ес-
48
I. КИНЕМАТИКА
ли промежуток времени At выбрать достаточно малым, то среднюю скорость t>cp на интервале At можно заменить на модуль мгновенной скорости v в любой точке этого интервала:
As яг v At.
Это соотношение выполняется тем точнее, чем меньше промежуток времени At.
Разбивая полное время движения на такие малые интервалы и учитывая, что полный путь 5 складывается из путей, пройденных за эти интервалы, можно убедиться, что на графике скорости он изображается площадью трапеции, ограниченной осями t и v, графиком скорости и вертикальным отрезком, проходящим через точку t на оси времени. Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то
s(t) =4 ("о + *)'. (4)
Подставляя сюда значение v(t) = v0t + at из (3), получаем
s{t)=v0t + ^. (5)
График движения, на котором изображается зависимость s(t), описываемая формулой (5), представляет собой отрезок параболы (рис. 39).
Скорость и наклон касательной. Наклон касательной к графику движения определяет скорость. Тангенс угла наклона касательной при t = 0 численно равен начальной скорости: tg а = vQ. Из графика на рис. 39 видно, что при дальнейшем движении наклон касательной возрастает, что соответствует увеличению скорости в полном согласии с графиком скорости на рис. 38.
При выводе формулы (5) мы предполагали, что движение все время происходит в одну сторону. В этом случае расстояние / тела от начальной точки совпадает с пройденным путем. Тем не менее формула (5) дает расстояние / от начальной точки и в том случае, когда на промежутке времени от 0 до t направление движения изменялось (рис. 40):
l(t) = v0t + ~~. (5а)
Пройденный за это время путь по-прежнему изображается площадью между осью времени и графиком скорости. Эта площадь заштрихована на рис. 40. Но треугольник, лежащий ниже оси времени, соответствует движению в обратном направлении и дает отрицательный вклад в определяемое формулой (5а) расстояние от начальной точки.
Формулу (5а) для расстояния / от начальной точки можно записать таким образом, чтобы она не содержала явно времени t движе-
§ 10. НЕРАВНОМЕРНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
49
ния. Для этого в формулу (5а) следует подставить не скорость v, а время из формулы v(t) = v0 + at. Это время будет
Тогда для I получаем
^ vp-t-v у — v0 __ у — v0
2 а 2а
Если направление движения не изменялось, то формула (6), естественно, дает выражение и для пройденного пути при движении с постоянным ускорением.
Формулы (4) —(6) получены для равнопеременного движения — движения с постоянным ускорением. Однако геометрические соображения, использовавшиеся при их выводе, справедливы и тогда, когда
Рис. 40. Определение расстояния по графику скорости, когда направление движения изменилось
Рис. 41. Определение расстояния по графику скорости
ускорение при движении изменяется. Во всех случаях пройденный путь численно равен площади между графиком скорости и осью времени (рис. 41). Расстояние I от начальной точки дается алгебраической суммой, в которую площади над осью времени входят со знаком «плюс», а лежащие под этой осью — со знаком «минус».
Задачи
1. Разгон автомобиля. Легковой автомобиль способен разогнаться с места до скорости 100 км/ч за 16 секунд. Оцените ускорение автомобиля и путь разгона.
Решение. При оценке можно считать ускорение постоянным. Для его нахождения нужно разделить скорость на время разгона. Разделив 100 км/ч на 16 с, получаем ускорение, выраженное в километрах в час за секунду: 6,25 (км/ч) /с. Это внесистемная единица ускорения. В Международной системе единиц СИ, где в качестве основных единиц длины и времени выбраны метр и секунда, производная единица ускорения — это метр в секунду за секунду, т. е. м/с2. Поэтому нужно скорость перевести из км/ч в м/с:
км 1000м « м
50
I. КИНЕМАТИКА
Разделив это значение на 16 с, получим 1,74 м/с2. Путь разгона можно оценить как произведение средней скорости на время разгона:
27,8 м/с ¦ / _ооо
— 2 - я 16 с = 222 м.
2. Торможение автомобиля. При экстренном торможении автомобиля модуль его ускорения не превышает 5 м/с2. Оцените тормозной путь автомобиля при скорости движения 60 км/ч.
