Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
32
I. КИНЕМАТИКА
вующая началу вектора Vj, лежит вне этой окружности. Из рисунка видно, что вектор v образует с прямой АВ наименьший угол тогда, когда он направлен по касательной к окружности. Следовательно, вектор v2 перпендикулярен вектору v, а треугольник скоростей — прямоугольный.
Таким образом, для переправы с минимальным сносом нос катера следует направлять вверх по течению под углом а к линии АВ (рис. 19). Синус этого угла дается выражением
Траектория катера направлена вдоль вектора v, т. е. она перпендикулярна направлению, в котором смотрит нос катера. Это значит, что по своей траектории катер движется боком. На другом берегу реки катер причалит в точке С, расстояние smin до которой можно найти из подобия треугольников:
Модуль скорости 1) находится по теореме Пифагора: v — y/v\ — . В ре-
зультате получаем
4. Лодка на тросе. Лодку подтягивают к берегу за привязанный к ее носу трос, наматывая его на равномерно вращающийся барабан (рис. 20). Барабан
В
установлен на высоком берегу. С какой скоростью v движется лодка в тот момент, когда трос образует угол а с горизонтом? Трос выбирается барабаном со
СКОРОСТЬЮ t)j.
Решение. Точка А троса, где он привязан к лодке, движется с той же скоростью, что и лодка. Эта скорость v направлена горизонтально. Чтобы связать ее со скоростью выбирания троса, нужно сообразить, что движение троса сводится к повороту вокруг точки В, где он касается барабана, и скольжению вдоль собственного направления, т. е. прямой АВ. Поэтому естественно разложить скорость v точки А на две составляющие V! и v2, направленные вдоль и поперек троса (рис. 21): у = У! + у2. Скорость v2, направ-
v2
sin а = —,
Рис. 20. Подтягивание к берегу с помощью троса
§7. СКОРОСТЬ
33
ленная поперек, связана с поворотом троса. Модуль скорости vb направленной вдоль троса, — это и есть данное в условии задачи значение скорости
выбирания троса. Из рисунка видно, что t; cos а = откуда i; = i>1/cosct.
По мере приближения лодки к берегу угол а становится больше. Это значит, что cos а убывает и искомая скорость v возрастает.
Задача для самостоятельного решения
Человек находится в поле на расстоянии I от прямолинейного участка шоссе. Слева от себя он замечает движущийся по шоссе автомобиль. В каком направлении следует бежать к шоссе, чтобы выбежать на дорогу впереди автомобиля и как можно дальше от него? Скорость автомобиля и, скорость человека v.
• Объясните, почему вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории.
• В некоторых случаях траектория движения частицы может иметь изломы. Приведите примеры таких движений. Что можно сказать о направлении скорости в точках, где траектория имеет излом?
• В случае непрерывного механического движения вектор скорости не испытывает скачков ни по модулю, ни по направлению. Появление скачков скорости всегда связано с некоторой идеализацией реального процесса.
Какие идеализации присутствовали в приведенных вами примерах траекторий с изломами?
• Найдите ошибку в приводимом ниже решении задачи 4. Разложим скорость точки А троса на вертикальную и горизонтальную составляющие (рис. 22). Горизонтальная составляющая v — это и есть искомая скорость лодки. Поэтому v = cos а (неверно!).
Рис. 22. Разложение скорости троса на горизонтальную и вертикальную составляющие
2 Е. И. Бутиков и др. Кинга 1
34
I. КИНЕМАТИКА
д Скорость как производная. Вернемся к выражению (1) для мгновенной скорости. При движении частицы ее радиус-вектор г изменяется, т. е. является некоторой функцией времени: г = г(0- Перемещение Дг за промежуток времени At представляет собой разность радиусов-векторов в моменты времени t + At и t:
В математике такую величину называют производной от функции г(t) по времени t. Для нее используют следующие обозначения:
Последнее обозначение (точка над буквой) характерно именно для производной по времени. Отметим, что в данном случае производная представляет собой вектор, так как получается в результате дифференцирования векторной функции по скалярному аргументу.
Для модуля мгновенной скорости в соответствии с (2) справедливо выражение
§ 8. Ускорение
Только при прямолинейном равномерном движении частицы ее скорость v остается неизменной. Во всех остальных случаях вектор скорости изменяется. При прямолинейном неравномерном движении изменяется модуль скорости. При криволинейном равномерном движении изменяется направление скорости. В общем случае неравномерного криволинейного движения изменяется и модуль, и направление скорости. Физическая величина, которая характеризует быстроту изменения скорости, называется ускорением.
Пусть за промежуток времени At вектор скорости изменяется от значения Vj до значения v2. Отношение изменения скорости А\ = v2 — Vj к промежутку времени At называется средним ускорением за этот промежуток:
