Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Решение. Поскольку движение капли после отрыва происходит без начальной скорости (t>o = 0) и с постоянным ускорением (а = g). то в соответствии с формулой (5) пройденное первой каплей расстояние hi от крыши в момент времени t дается выражением
Вторая капля начинает движение позже первой. Поэтому к моменту времени t она находилась в движении в течение времени t — t и пройденное ею расстояние
Очевидно, что расстояние Я между каплями равно hx — h2.
Н = hl-h2 = ^g]t'1- (^-t)2] (7)
Подставляя сюда значения t = 1 с и / = 2с и принимая g= 10 м/с2, нахог дим Я = 15 м.
Скорость v первой капли относительно второй легко найти как разность скоростей и v2, с которыми движутся капли в момент времени t. С помощью формулы (3) имеем
= g*. v2 = g(( - t)-
Отсюда следует, что скорость первой капли относительно второй не зависит от времени:
v - vx — v2 = gt = 10 м/с.
Видно, что эта относительная скорость равна скорости первой капли, которую она успела набрать к моменту t отрыва второй. В дальнейшем обе капли падают с одинаковым ускорением и их скорости растут, но разность скоростей остается неизменной.
С помощью известной относительной скорости можно найти расстояние Я между каплями другим способом. К моменту t отрыва второй капли первая успевает удалиться от нее на расстояние Я0 = gx2!2. С этого момента их относительное движение происходите постоянной скоростью v = gx. Поэтому расстояние Н в любой момент времени t > т равно
H = H0 + v{t- t).
§ 10. НЕРАВНОМЕРНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
53
Подставляя сюда значения Н0 и v, получаем прежний результат (7). Из этого способа решения становится совершенно ясным, почему расстояние между каплями увеличивается со временем по линейному закону, несмотря на то что пути, проходимые каждой каплей, зависят от времени квадратично.
Задумаемся над тем, всегда ли полученное здесь решение задачи имеет смысл. В условии ничего не было сказано о высоте крыши над поверхностью земли. Между тем очевидно, что для низкой крыши первая капля может упасть на землю раньше, чем оторвется вторая. Чтобы обе капли одновременно находились в воздухе, как это предполагалось в приведенном решении задачи, нужно, чтобы высота крыши была не меньше чем gx2/2 »5м. А поставленный в задаче вопрос имеет смысл, только если высота крыши не меньше чем hi = gt2H «s 20 м — расстояние, пройденное первой каплей за 2 с.
Итак, мы видим, что некоторые не указанные в условии задачи параметры, формально не входящие в ответ, могут решающим образом влиять на условие его применимости. Так, в данной задаче полученный ответ Н — 15 м имеет смысл только при условии, что высота крыши не меньше 20 м.
Что касается интервала между моментами падения капель на землю, то он, очевидно, равен интервалу т между моментами отрыва капель независимо от высоты крыши. Приведите различные способы обоснования этого факта!
2. Гонки у светофора. Автомобиль, стоящий у светофора, может разогнаться с места до максимальной разрешенной скорости = 60 км/ч за время т = 6 с. В тот момент, когда загорается зеленый свет и автомобиль трогается с места, его обгоняет грузовик, движущийся с постоянной скоростью v2 = 40 км/ч. Сколько времени понадобится, чтобы обогнать грузовик, не нарушая правил движения? На каком расстоянии от светофора это произойдет? Какова будет в этот момент скорость автомобиля?
Решение. Ясно, что в принципе здесь имеются две возможности: автомобиль может догнать грузовик, либо еще продолжая разгоняться, либо уже достигнув максимальной разрешенной скорости и двигаясь равномерно. Конечно, полезно было бы с самого начала увидеть, которая из этих возможностей реализуется в данном случае. Это зависит от числовых значений приведенных в условии задачи параметров.
Рассмотрим построенные на одном чертеже графики скорости автомобиля и грузовика (рис. 43). Пройденный каждым из них путь к моменту времени t определяется площадью под соответствующим графиком. Легко видеть, что автомобиль могбы поравняться с грузовиком, продолжая при этом разгоняться, только при условии, что он может достичь скорости 2v2. Именно при достижении такой скорости в некоторый момент времени (j площадь треугольника будет равна площади прямоугольника vitl. Однако
Рис. 43. Площади под графиками скорости для двух движений, рассматриваемых в задаче 2
54
I. КИНЕМАТИКА
2v2 = 80 км/ч, что превосходит максимальную разрешенную скорость. Поэтому автомобиль догонит грузовик, уже закончив разгон и двигаясь с постоянной скоростью 1»! = 60 км/ч.
Момент времени (2, когда это произойдет, можно найти, представив пройденный автомобилем путь как сумму пути на участке разгона, равного v,t/2, и пути при равномерном движении vl(t2 — т) и приравнивая эту сумму пути v2t2, пройденному грузовиком:
Отметим еще раз, что этот результат справедлив только при v, < 2v2. Расстояние s от светофора в момент времени t2 равно
