Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
it 'j'Z
Отметим, что угловая скорость ш измеряется в радианах в секунду, а частота v — в оборотах в секунду. Размерности ш и v одинаковы (с-1), так как эти величины различаются лишь числовым множителем 2 л.
Задача
По кольцевой дороге. Рельсы игрушечной железной дороги образуют кольцо радиуса R (рис. 47). Вагончик перемещается по ним, подталкиваемый стержнем OiA, который поворачивается с постоянной угловой скоростью coi вокруг точки 01, лежащей внутри кольца почти у самых рельсов. Как изменяется скорость вагончика при его движении?
Решение. Угол <Pj, образуемый стержнем 0{А с некоторым направлением, изменяется со временем по линейному закону: ф) = со^. В качестве направления, от которого отсчитывается угол <plt удобно взять диаметр окружности, проходящий через точку Ot (рис. 47). Точка О — центр окружности. Очевидно, что центральный угол <р, определяющий положение вагончика на окружности, в два раза больше вписанного угла <pj, опирающегося на ту же дугу: = 2^. Поэтому угловая скорость со вагончика при движении
по рельсам вдвое больше угловой скорости coj, с которой поворачивается стержень: со = 2и>1.
Таким образом, угловая скорость со вагончика оказалась постоянной. Значит, вагончик движется по рельсам равномерно. Его линейная скорость v, неизменна и равна
v I = со R = 2сО[Л.
Ускорение вагончика при таком равномерном движении по окружности всегда направлено к центру О, а его модуль дается выражением (4):
ап = w 2R = 4ш^Л.
• Посмотрите на формулу (4). Как ее следует понимать: ускорение ап все-таки пропорционально R или обратно пропорционально R?
• Объясните, почему при неравномерном движении по окружности угловая скорость со сохраняет свой смысл, а Т и v теряют смысл?
Рис. 47. К нахождению угловой скорости при движении по кольцевой дороге
60
I. КИНЕМАТИКА
д Угловая скорость как вектор. В некоторых случаях угловую скорость удобно рассматривать как вектор, модуль которого равен со, а неизменное направление перпендикулярно плоскости, в которой лежит окружность. С помощью такого вектора можно записать формулу, аналогичную (3), которая выражает вектор скорости v частицы, движущейся по окружности.
Поместим начало отсчета в центр О окружности. Тогда при движении частицы ее радиус-вектор г будет только поворачиваться с угловой скоростью со, а его модуль все время равен радиусу R окружности (рис. 48). Видно, что вектор скорости v, направленный по касательной к окружности, можно представить как векторное произведение вектора угловой скорости со на радиус-вектор г частицы:
v = со х г. (8)
Векторное произведение. По определению векторное произведение двух векторов представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы. Выбор направления векторного произведения производится по следующему правилу. Первый сомножитель мысленно поворачивается в сторону второго, как если бы это была рукоятка гаечного ключа. Векторное произведение направлено в ту же сторону, куда при этом стал бы перемещаться винт с правой резьбой.
Если сомножители в векторном произведении поменять местами, то оно изменит направление на противоположное: а х b = —b х а. Это значит, что векторное произведение некоммутативно.
Из рис. 48 видно, что формула (8) будет давать правильное направление для вектора v, если вектор со направлен именно так, как показано на этом рисунке. Поэтому можно сформулировать следующее правило: направление вектора угловой скорости совпадает с направлением движения винта с правой резьбой, головка которого поворачивается в ту же сторону, в которую движется частица по окружности.
По определению модуль векторного произведения равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла а между ними:
| а х b | = ab sin а. (9)
В формуле (8) перемножаемые векторы со и г перпендикулярны друг другу, поэтому sin а = 1 и v = <x>R, как и должно быть в соответствии с формулой (3).
Рис. 48. Вектор угловой скорости
§ 12. РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
61
• Что можно сказать о векторном произведении двух параллельных векторов?
• Как направлен вектор угловой скорости стрелки часов? Чем различаются эти векторы для минутной и часовоой стрелок?А
§ 12. Равнопеременное движение в пространстве
Рассмотрим движение частицы, при котором вектор ускорения а постоянен. Примером такого движения может служить свободный полет брошенного с произвольной начальной скоростью тела в поле тяжести Земли, когда сопротивление воздуха несущественно.
При постоянном ускорении а = const в формуле, определяющей ускорение, промежуток времени At может быть любым, и поэтому приращение скорости Av за промежуток At можно записать в виде
Av = a At. (1)
Выбирая в качестве At промежуток времени от 0 до t, для скорости \(t) в момент времени t получаем
