Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
г it 2
^= $ (vo + at) dt = г>0 $ dt + a dt = v0t +
о
о
о
v — v0 = ^ a(t) dt.
(12)
о
v = v0 + at,
если время движения равно t.
Рис. 44. Путь, геометрически изображаемый площадью под графиком скорости
V
v ^ 2л/3 ^
R R
Решение. Пройденный телом путь s изображается площадью под графиком скорости. В данном случае это площадь сегмента с центральным углом 2л/3. Обозначив через R радиус окружности, дуга которой представляет собой график скорости, для площади сегмента можно написать следующее выражение, рассматривая ее как разность площадей сектора и треугольника (рис. 44):
(13)
§11. ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ
57
v как R = 2v, либо через t как R = tlV3. Таким образом, для пройденного пути s получаем
s = 0,61 ^ vt = OJlat. (14)
V3
Проделанная процедура восстановления правильной размерности в формуле (14) на первый взгляд кажется весьма искусственной. Однако она необходима всегда, когда пройденный путь подсчитывается не как интеграл от скорости по формуле (11), а как площадь геометрической фигуры, выражаемая через какой-либо один ее линейный размер. Ведь изменение масштаба графика по одной из осей изменяет форму геометрической фигуры. В нашем случае вместо дуги окружности график скорости при этом превратился бы в часть эллипса. Поэтому формула
(13) справедлива только при вполне определенном соотношении масштабов по осям t и V.
Сказанное можно пояснить на более простом примере, когда график скорости имеет вид, показанный на рис. 45.
Пройденный путь равен, очевидно, v0t/2. Однако если в условии задачи указать, что график скорости образует с осями равнобедренный треугольник, то может возникнуть соблазн записать пройденный путь как 1>У2 либо как t2/2, что, разумеется, нельзя рассматривать как окончательный ответ в физической задаче. При изменении масштаба по одной из осей треугольник перестает быть равнобедренным и подобное искушение уже не возникает. д.
Рис. 45. Путь s = v0t/2 как площадь под графиком скорости при равнозамедленном движении
§11. Движение по окружности
Важным частным случаем движения частицы по заданной траектории является движение по окружности. Положение частицы на окружности (рис. 46) можно задавать, указывая не расстояние I от некоторой начальной точки А, а угол <р, образуемый радиусом, проведенным из центра О окружности к частице, с радиусом, проведенным в начальную точку А.
Наряду со скоростью движения по траектории, которая определяется как
vi ~ lim fp д^о
удобно ввести угловую скорость, характеризующую быстроту изменения угла (р:
w = lim^. (2)
д^оДг
58
I. КИНЕМАТИКА
Скорость движения по траектории Vj называют также линейной скоростью. Установим связь между линейной и угловой скоростями. Длина дуги /, стягивающей угол ip, равна где R — радиус окружности, а угол ip измерен в радианах. Поэтому АI = R Aip и угловая скорость со связана с линейной скоростью соотношением
V[ = Лео.
(3)
Рис. 46. Угол ip задает положение точки на окружности
Ускорение при движении по окружности, как и при произвольном криволинейном движении, имеет в общем случае две составляющие: тангенциальную, направленную по касательной к окружности и характеризующую быстроту изменения величины скорости vt, и нормальную, направленную к центру окружности и характеризующую быстроту изменения направления скорости.
Значение нормальной составляющей ускорения, называемой в этом случае (движение по окружности) центростремительным ускорением, дается общей формулой (3) § 8, в которой теперь линейную скорость vt можно выразить через угловую скорость со с помощью формулы (3):
я„=^=аАК.
(4)
Здесь радиус R окружности, разумеется, одинаков для всех точек траектории.
При равномерном движении по окружности, когда значение vt постоянно, угловая скорость со, как видно из (3), тоже постоянна. В этом случае ее иногда называют циклической частотой.
Период и частота. Для характеристики равномерного движения по окружности наряду с со удобно использовать период обращения Т, определяемый как время, в течение которого совершается один полный оборот, и частоту v — величину, обратную периоду Т, которая равна числу оборотов за единицу времени:
Т = ~. (5)
V
Из определения (2) угловой скорости следует связь между величинами со, Т и v:
§ 11. ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ
59
Это соотношение позволяет записать формулу (4) для центростремительного ускорения еще и в таком виде:
2
ап = R = 4 л2v2R.
