Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
v(0=v0 + a;, (2)
где v0 — скорость при t — 0: v0 = v(0).
Перемещение в пространстве. Формулу (2) можно интерпретировать как результат сложения скоростей двух независимых прямолинейных движений, в которых одновременно участвует частица: равномерного движения с постоянной скоростью v0 в направлении вектора v0 и равноускоренного движения с ускорением а без начальной скорости в направлении вектора а.
Если бы тело участвовало только в одном из этих движений, то легко было бы написать выражения для его перемещений. В первом случае это был бы вектор, равный vQt, а во втором случае — вектор,
равный at2/2. В самом деле, в этих случаях траектория движения —
прямая, а расстояние вдоль нее от начальной точки равно соответ-
ственно v0t и at1/2. В полном согласии с принципом независимости перемещений при одновременном участии тела в этих двух движениях его перемещение Аг равно векторной сумме \0t и at2/2. Если поместить начало отсчета в точку, где находилось тело при t = 0, то вектор перемещения Аг за промежуток времени от 0 до t совпадает с его радиусом-вектором г(/) в момент времени t. Поэтому
r(t) =\Qt(3)
Нетрудно видеть, что скорость тела в момент t, если ее найти с помощью формулы (3), совпадает с выражением (2). В частном слу-
62
I. КИНЕМАТИКА
чае движения тела, брошенного под углом к горизонту в поле тяжести Земли, формула (3) принимает вид
л
r(t) = v0t +
tr
(4)
где g — вектор ускорения свободного падения, направленный вертикально вниз и равный по модулю приблизительно 9,8 м/с2.
Хотя каждое из двух рассматриваемых при получении формулы (3) движений происходит по прямой, результирующее движение тела происходит по криволинейной траектории, если, разумеется, направления векторов v0 и а не совпадают. Эта криволинейная
траектория, однако, векторы v0 и а.
лежит в той же плоскости, в которой лежат
Задачи
1. Дальность полета. Тело брошено с поверхности земли под некоторым углом к горизонту с начальной скоростью v0 = 10 м/с и упало на землю через время ( = 1,5 с. На каком расстоянии от начальной точки оно упало? Решение. Для рассматриваемого движения справедлива формула (4):
r = v0r + ?l. (5)
ловию задачи точка А /1
Найдем геометрический образ этого векторного уравнения. Попробуем нарисовать треугольник, соответствующий равенству (5). Так как по ус-
падения тела находится на поверхности земли, проведенный в нее из начальной точки О вектор г направлен горизонтально (рис. 49). Вектор vDt выходит из начальной точки О и направлен вдоль v0 под некоторым углом к горизонту. Вектор gt2/2 направлен вертикально вниз и заканчивается в той же точке А, что и вектор г. Поэтому получившийся треугольник прямоугольный. Расстояние I, равное модулю вектора г, можно найти с помощью теоремы Пифагора:
I ¦
•{(*>'- (fj1
(6)
Рис. 49. Перемещение г как сум- S ' ма двух слагаемых v0/ и gt2!2
Подставляя в (6) заданные значения v0 и t и 9,8 м/с2, находим искомую дальность полета: t = 10,2 м.
Обратим внимание на то, что формально при заданном времени полета дальность не зависит от угла, под которым брошено тело. Дело в том, что данные условия задачи однозначно определяют этот угол. Из рис. 49 видно, что sin а = gt/(2v0). Подставляя значения v0, t и g, находим sin а = 0,735.
Значения v0 и t в условии задачи не могут быть произвольными. В самом деле, время полета t не может превышать значения 2u0/g, соответ-
§ 12. РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
63
ствующего вертикальному направлению начальной скорости. Это условие можно, разумеется, получить и непосредственно из выражения (6), если учесть, что физический смысл ответ имеет только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно. Можно получить его и из очевидного требования sin а < 1.
2. Максимальная дальность. Камень брошен с поверхности земли с начальной скоростью по = 10 м/с, направленной под углом а = 30° к горизонту. Найдите дальность полета по горизонтали, т. е. расстояние до точки его падения на землю. При каком значении угла а дальность полета максимальна?
Решение. Очевидно, что полет камня описывается тем же уравнением (5), которому соответствует треугольник векторов, показанный на рис. 49. Выразив катет gt2/2 через гипотенузу v0t и синус угла а, можно найти время полета камня:
2и„ sin а
t = —------.
8
Теперь легко найти горизонтальный катет, который и равен искомой дальности полета камня:
