Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
40
I. КИНЕМАТИКА
торое можно задавать длиной дуги s. Поэтому его зависимость от времени определяется зависимостью от времени длины дуги s(t): х(/) =t(s(?)). Дифференцируя т(/) как сложную функцию времени, найдем
dx __
dt ds dt ds V' ' '
Здесь мы воспользовались тем, что ds/dt = v. Смысл производной dx/ds легко уяснить из рис. 29. Все изменение вектора т при переходе частицы из точки А в близкую к ней точку В, отстоящую по траектории на длину дуги ds, сводится к повороту на некоторый малый угол da. Поэтому для модуля dx вектора dx можно написать
dx = da.
Сам вектор dx можно представить в виде dx = n da,
Рис. 29. к вычислению п ~ единичный вектор нормали к
производной траектории, направленный из данной
точки траектории к центру О аппроксимирующей ее окружности. Из рис. 29
видно, что длину ds дуги АВ можно выразить через радиус
R аппроксимирующей окружности:
ds = R da.
В результате dx/ds можно представить следующим образом:
di__ da____
ds R da R’
после чего выражение (7) принимает вид
dx v
d7 = Rn• (8)
Теперь можно написать окончательное выражение для ускорения а, подставляя dx/dt в (6):
dv , v2
a = d7T+*n- W
Поскольку единичный вектор нормали п всегда смотрит в сторону вогнутости траектории, вектор полного ускорения а по отношению к траектории может быть направлен только так, как
показано на рис. 30.
Формула (9) фактически представляет собой разложение вектора а на две составляющие. Такое разложение, конечно, может быть выполнено бесконечным числом способов. Данный способ
§ 9. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
41
замечателен тем, что две взаимно перпендикулярные составляющие вектора ускорения имеют ясный физический смысл: одна из
v < о
Рис. 30. Расположение вектора а полного ускорения по отношению к траектории
них характеризует быстроту изменения модуля скорости, а другая — быстроту изменения его направления.
По теореме Пифагора для модуля полного ускорения имеем
rfiA ^ . v4
dtj л5'
Объясните, почему вектор dx/ds направлен вдоль вектора п нормали к траектории.
Почему равны углы, отмеченные дужками на рис. 29?
От чего зависит угол отклонения вектора а полного ускорения частицы от направления нормали к траектории? д
§ 9. Одномерное движение
При движении по заданной траектории положение частицы полностью определяется заданием одной величины — криволинейной координаты, в качестве которой удобно взять расстояние I вдоль траектории от некоторой начальной точки. Например, положение автомобиля на шоссе Санкт-Петербург—Москва можно задавать, указывая, на каком километре от Санкт-Петербурга он находится. При движении это расстояние I изменяется со временем, т. е. его следует рассматривать как функцию времени: / = /(?). Наглядное представление об этой функции для конкретного движения дает график движения, на котором по горизонтальной оси отложено время t, а по вертикальной — расстояние I от начальной точки.
График движения. Если движение происходит все время в одном направлении, то расстояние I совпадает с пройденным от начальной точки путем As и на графике изображается монотонно возрастающей функцией. Пример графика такого движения приведен на рис. 31а. Тело начинает движение в момент времени t = 0 из точки, принятой за начало отсчета расстояния I вдоль траектории. График на рис. 316 соответствует случаю, когда тело в момент t = 0 прохо-
42
I. КИНЕМАТИКА
дит через точку, принятую за начало отсчета расстояний, хотя его движение происходило и до этого момента. При этом отсчитываемые назад от начальной точки 1 = 0 расстояния считаются отрицательными, как и моменты времени, предшествующие моменту
Рис. 31. График движения в одном направлении
t = 0. График на рис. 31а соответствует движению, которое началось в момент t = 0 из точки, отстоящей на расстояние /0 от места, принятого за начало отсчета.
В отличие от графического изображения траектории, по которому легко судить о направлении скорости (касательная к траектории), но ничего нельзя сказать о ее модуле, график движения позволяет судить о значении скорости в каждый момент времени: чем круче наклон графика, тем быстрее происходит движение. Здесь можно ввести по определению скорость
М
