Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
В общем случае при неравномерном движении по произвольной криволинейной траектории вектор ускорения можно представить в виде суммы двух составляющих: тангенциальной и нормальной. Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории и характеризует быстроту изменения модуля скорости. Нормальное ускорение направлено в каждой точке к центру окружности, аппроксимирующей траекторию движения в этой точке, и характеризует быстроту изменения направления скорости.
• Объясните, почему при равномерном криволинейном движении вектор ускорения в каждой точке направлен перпендикулярно траектории.
• Опишите способ нахождения центра и радиуса окружности, аппроксимирующей данную траекторию в какой-либо ее точке.
• В какую сторону — вперед или назад — направлен вектор тангенциального ускорения? Другими словами, направлен он вдоль вектора скорости или противоположно ему?
Д Ускорение — производная скорости. По аналогии с формулой (5) предыдущего параграфа, рассматривая скорость v как векторную функцию времени t, можно сказать, что определяемое формулой (2) ускорение а представляет собой производную функции v(/) по времени t. Используя для производной те же обозначения, что и в формуле (6) предыдущего параграфа, можно написать
а = ^г, a = v'(/), а = v. (4)
Сравнивая эти формулы с соответствующими выражениями (6) из § 7, можно отметить определенную формальную аналогию между скоростью и ускорением. Пусть конец радиуса-вектора описывает некоторую траекторию, как показано на рис. 27. В
38
I. КИНЕМАТИКА
каждый момент времени вектор скорости направлен по касательной к траектории. Изобразим все векторы скорости v,, \г и т. д. для разных моментов времени так, чтобы они начинались из одной точки А (рис. 27). При движении частицы по траектории ко-
Рис. 27. Годограф вектора скорости — кривая MN. Вектор ускорения а направлен по касательной к годографу скорости
нец вектора скорости на таком чертеже будет описывать кривую MN, называемую годографом вектора скорости. Используя эту терминологию, можно сказать, что сама траектория частицы является годографом ее радиуса-вектора.
Теперь легко сообразить, что вектор ускорения на рис. 27 будет в каждой точке направлен по касательной к годографу MN вектора скорости, подобно тому как вектор скорости направлен по касательной к траектории на рис. 14.
С помощью описанной аналогии легко найти формулу для модуля центростремительного ускорения при равномерном движении
Рис. 28. Вектор скорости при равномерном движении по окружности (а) и годограф вектора скорости (б). Вектор ускорения в каждой точке траектории направлен к центру окружности
по окружности. Годограф скорости для такого движения показан на рис. 28. Пока частица совершает один оборот по траектории, ко-
§8. УСКОРЕНИЕ
39
нец вектора скорости совершает один оборот по годографу. Модуль скорости частицы равен отношению длины окружности 2лЛ к периоду обращения Т:
2лЛ
V = ~.
Аналогичное соотношение, естественно, связывает модуль ускорения а с радиусом годографа скорости v:
^ 2яу
Сравнивая эти формулы, получаем
_ V2
а R ’
а сравнивая рис. 28а, б, убеждаемся, что вектор ускорения а в каждый момент времени направлен противоположно радиусу-вектору частицы для этого же момента времени, проведенному из центра окружности: ускорение а направлено к центру окружности, являющейся траекторией движения.
Тангенциальное и нормальное ускорения. Остановимся подробнее на выводе формул для тангенциального и нормального ускорений. Для этого запишем выражение для вектора скорости в определенной точке криволинейной траектории в виде
V = UT> (5)
где v — модуль скорости, а г — вектор, равный по модулю единице и направленный вдоль касательной к траектории в ту сторону, куда движется частица. Будем для краткости называть его единичным вектором касательной. При движении частицы по криволинейной траектории меняется только направление вектора т, а его модуль остается неизменным и равным единице.
Так как ускорение в соответствии с (2) равно производной скорости по времени, то, применяя к (5) правило дифференцирования произведения двух функций, можно написать
d\ dv . dt
a = di = TTx + vd7-
Первое слагаемое в правой части — это тангенциальное ускорение: видно, что оно направлено по касательной к траектории вперед, когда модуль скорости растет (dv/dt > 0), и назад, когда модуль скорости убывает (dv/dt < 0).
Второе слагаемое в правой части — это нормальное ускорение, направленное перпендикулярно касательной к траектории. Чтобы убедиться в этом, преобразуем входящую в него производную dx/dt следующим образом. Направление единичного вектора т фактически зависит от положения частицы на траектории, ко-