Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Дг = г (t + At) — г (О-Поэтому формулу (1) можно переписать в виде
(5)
(6)
(О
§ 8. УСКОРЕНИЕ
35
Ускорение — вектор. Среднее ускорение представляет собой вектор, направленный вдоль Ду. Он характеризует быстроту изменения скорости за определенный конечный промежуток времени. Неограниченно уменьшая этот промежуток, приходим к физической величине, характеризующей быстроту изменения скорости в данный момент времени. Эта величина называется ускорением:
В отличие от вектора скорости, который всегда направлен по касательной к траектории, вектор ускорения может иметь составляющие, направленные как по касательной, так и по нормали к траектории.
Направление ускорения. Вектор ускорения направлен вдоль траектории только тогда, когда эта траектория прямолинейная. Если частица ускоряется, т. е. модуль ее скорости растет, то вектор Ду = v2 — V[ направлен вдоль траектории вперед. Такое же направление имеет и вектор ускорения. Если движение частицы замедляется, т. е. модуль ее скорости убывает, то вектор ускорения направлен вдоль траектории назад.
Вектор ускорения направлен строго поперек траектории только при равномерном движении по криволинейной траектории, когда модуль скорости неизменен. Если вектор скорости по модулю не
нейной траектории
меняется, то все его изменение сводится к повороту. При этом, разумеется, векторы скорости для разных моментов времени изображаются выходящими из одной точки, хотя эти векторы соответствуют разным точкам траектории (рис. 23). Видно, что вектор Ду, а следовательно, и вектор ускорения направлены в сторону вогнутости траектории.
Рассмотрим частный случай движения по криволинейной траектории — равномерное движение по окружности радиуса R (рис. 24). В этом случае вектор ускорения в любой точке траектории направ-
(2)
V
Рис. 23. Приращение скорости Ду при равномерном движении по криволи-
Рис. 24. Приращение скорости при равномерном движении по окружности
36
I. КИНЕМАТИКА
лен к центру окружности. С этим связано его название — центростремительное ускорение.
Центростремительное ускорение. Модуль центростремительного ускорения зависит от радиуса R окружности и модуля скорости v. Для вывода формулы, выражающей эту зависимость, рассмотрим две близкие точки траектории А и В, в которых частица находится через промежуток времени At (рис. 24). Радиусы О А и ОВ, проведенные из центра О окружности в эти точки, перпендикулярны соответствующим векторам скоростей v и v + Av.
Перенесем вектор v + Av назад параллельно самому себе так, чтобы его начало оказалось в той же точке А, что и начало вектора v. Тогда вектор приращения скорости Av будет замыкать треугольник, образованный этими векторами скоростей. Из подобия равнобедренных треугольников на рис. 24 следует
Длина хорды АВ при А/—*0 все меньше и меньше отличается от длины дуги АВ, равной vAt. Поэтому при А^—»0 находим
Полученное выражение (3) для центростремительного ускорения справедливо при равномерном движении по любой криволинейной
траектории. Дело в том, что достаточно малый участок любой плавной кривой можно приближенно рассматривать как дугу некоторой окружности. Положение центра этой окружности и ее радиус будут своими для каждой точки траектории (рис. 25).
Для геометрического определения положения центра и радиуса нужно взять две близкие точки криволинейной траектории, провести в них касательные и построить перпендикуляры к этим касательным (рис. 26). Центр окружности, аппроксимирующей криволинейную траекторию в точке А, находится как предельное поло-
&у _ АВ
v ~ R ‘
(3)
А
\
Рис. 25. Приближение участков криволинейной траектории дугами окружностей
Рис. 26. К нахождению центра аппроксимирующей окружности
§ 8. УСКОРЕНИЕ
37
жение точки О пересечения этих перпендикуляров при неограниченном уменьшении длины дуги АВ, т. е. при стремлении точки В к точке А.
Таким образом, любое движение по криволинейной траектории можно представить как движение по дугам окружностей, центры и радиусы которых изменяются от точки к точке траектории. При равномерном движении вектор ускорения в каждой точке траектории направлен к центру соответствующей окружности, т. е. перпендикулярно касательной к траектории, а его модуль дается той же формулой (3). Поэтому в отличие от равномерного движения по окружности, где вектор ускорения не изменяется по модулю и, поворачиваясь, смотрит все время в одну точку, при равномерном движении по произвольной кривой вектор ускорения уже не сохраняется по модулю и, изменяя свое направление, уже не смотрит в одну точку. Однако в каждой точке он направлен по нормали к траектории.
