Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
I. Переправа через реку. Скорость течения в реке с параллельными берегами всюду одинакова и равна Vj. Ширина реки I (рис. 15). Катер может плыть со скоростью \>2 относительно воды. На какое расстояние s снесет катер вниз по течению реки, если при переправе нос катера направить строго поперек берегов?
Решение. Катер участвует одновременно в двух движениях: со скоростью х>2, направленной поперек течения, и вместе с водой со скоростью vh которая направлена параллельно берегу. В соответствии с правилом сложения скоростей (3) полная скорость v катера относительно берегов равна век-
(2)
V = Vl + v2.
(3)
Задач и
30
I. КИНЕМАТИКА
торной сумме V[ и v2: v = Vj + v2 (рис. 16). Очевидно, что движение катера происходит по прямой АС, направленной вдоль вектора V. Искомое рассто-
Рис. 15. Переправа через реку, скоро- Рис. 16. Сложение скоростей при пе-
сть течения которой всюду равна v i реправе через реку
яние s, на которое снесет катер при переправе, можно найти из подобия треугольника ABC треугольнику, образованному векторами скоростей:
i = ^i
I v2'
откуда
I
S = I —. v2
Эту задачу легко решить и не прибегая к сложению векторов скоростей. Очевидно, что расстояние s равно произведению скорости течения Л; на время t, в течение которого катер пересекает реку: S[ = t,'^. Это
время можно найти, разделив ширину реки / на скорость v2 движения катера поперек реки: t = llv2. Таким образом, находим
s = vyt = I —.
v2
В этой простой задаче второй способ решения предпочтительнее, так как он проще. Однако уже при небольшом усложнении условия задачи становятся отчетливо видны преимущества первого способа, основанного на сложении векторов скоростей.
2. Переправа поперек реки. Предположим, что теперь нам нужно переправиться на катере через ту же реку точно поперек, т. е. попасть в точку В, лежащую напротив начальной точки А (рис. 17). Как нужно направить нос катера при переправе? Сколько времени займет такая переправа?
Решение. В рассматриваемом случае полная скорость v катера относительно берегов, равная векторной сумме скоростей V! и v2, должна быть
штщтящ
Рис. 17. Сложение скоростей при переправе поперек реки
§ 7. СКОРОСТЬ
31
направлена поперек реки. Из рис. 17 сразу видно, что вектор v2, вдоль которого и смотрит нос катера, должен отклоняться на некоторый угол а вверх по течению реки от направления АВ. Синус этого угла равен отношению модулей скоростей течения и катера относительно воды:
sin а = —. ^4)
Переправа поперек реки без сноса возможна только в том случае, когда скорость катера v2 относительно воды больше скорости течения Vj. Это сразу видно либо из треугольника скоростей на рис. 17 (гипотенуза всегда больше катета), либо из формулы (4) (синус угла а должен быть меньше единицы).
Время переправы t найдем, разделив ширину реки / на полную скорость катера v: t = l/v. Для v по теореме Пифагора имеем v = Vu|”—vf. Таким образом,
I
v — ¦•)
A/v\-v\
3. Снос при быстром течении. Предположим теперь, что скорость катера относительно воды меньше скорости течения: г/2 < vi- ® таком случае переправа без сноса невозможна. Как следует направить нос катера при переправе, чтобы снос получился минимальным? На какое расстояние smln при этом снесет катер?
Решение. Полная скорость v катера относительно берегов во всех рассматриваемых случаях дается формулой (3). Однако теперь нагляднее выполнить сложение векторов V! и v2 по правилу треугольника (рис. 18): пер-
Рис. 18. Сложение скоростей при переправе с минимальным сносом
Рис. 19. Определение курса катера (направление вектора v2) для переправы с минимальным сносом
вым изображаем вектор Vj, для которого мы знаем и модуль и направление, а затем к его концу пристраиваем начало вектора v2, для которого известен только модуль, а направление еще предстоит выбрать. Этот выбор нужно сделать так, чтобы вектор результирующей скорости v как можно меньше отклонялся от направления АВ поперек реки.
Конец вектора v2 при любом его направлении должен лежать на окружности радиуса v2, центр которой совпадает с концом вектора Vj. Эта окружность показана на рис. 18. Так как по условию задачи v2 < i;,, то точка Л', соответст-
