Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Решение. Если бы паром стоял на месте, то перемещение пассажира изображалось бы вектором Ь, проведенным из угла А квадрата в его центр (рис. 11). Очевидно, что он направлен под углом 45° к берегу, а его модуль
§ 5. ОДНОВРЕМЕННЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. СЛОЖЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
23
с = V(//2)2+ (s-l/2)2 » 280,7 м
Направление вектора с можно определить, вычислив значение синуса угла а (рис. 11), образуемого вектором с и перпендикуляром к береговой линии:
sin а = — = 0,07.
равен Перемещение самого парома изображается вектором а, перпендикулярным берегу. Его модуль а = s — I.
Результирующее перемещение пассажира изображается вектором с, проведенным по диагонали параллелограмма, построенного на векторах а и Ь. Из рис. 11 видно, что его модуль проще находить не как длину диагонали, а как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами Ц2 и а + 1/2 = s — U2.
По теореме Пифагора
Рис. 11. Сложение перемещений при переправе на пароме
Поскольку sin а «к 1, то его значение приближенно совпадает с самим углом а в радианной мере. Умножая это значение на 180°/л, находим а = 4°.
• Приведите примеры сложения перемещений, когда тело одновременно участвует в нескольких движениях.
• Зависит ли результат сложения трех и большего числа перемещений от последовательности, в которой производится их сложение? Проверьте ваш ответ на каком-либо конкретном примере.
д Геометрия и опыт. Зачем нужна была ссылка на опыт при утверждении, что результирующее перемещение тела, участвующего в двух движениях, равно векторной сумме составляющих перемещений? Разве это не очевидно с самого начала? Когда мы говорим о сложении векторов, то имеем в виду правила действий, определяемые в евклидовой геометрии. Опыт, о котором идет речь, фактически служит проверкой того, что геометрия реального физического пространства является евклидовой.
Нужно ли проверять на опыте справедливость евклидовой геометрии? Правильность математической теории, в частности геометрии Евклида, определяется ее внутренней непротиворечивостью, устанавливаемой чисто логическим путем. Ссылки на опыт здесь не нужны. В противоположность «чистой» математике, где величины по определению обладают теми свойствами, которые им произвольно приписаны, в физике необходимо не приписывать, а экспериментально открывать отдельные объективно существующие свойства.
Физические величины определяются прежде всего по тем признакам, по которым мы распознаем их, сталкиваясь с ними при наблюдении окружающего мира. Вместо абстрактных гео-
24
I. КИНЕМАТИКА
метрических понятий точки, прямой линии и т. д. в физике приходится иметь дело с их материальными воплощениями. Например, прямой линии сопоставляется луч света — узкий световой пучок.
Геометрические представления имеют для физики принципиальное значение. С ними связан вопрос о физических свойствах реального мира: можно ли в физических измерениях предполагать, что справедливы аксиомы и теоремы евклидовой геометрии? Такой вопрос не возникал, пока геометрия Евклида была единственной известной геометрией и ее применимость к физическому пространству считалась самоочевидной. Однако уже в XIX веке выяснилось, что возможно существование и других геометрий, основанных на наборах аксиом, отличных от аксиом, на которых зиждется геометрия Евклида.
Искривленное пространство. Для того чтобы понять, в чем могут заключаться отличия геометрии пространства от евклидовой геометрии, вообразим себе, каким представлялся бы мир гипотетическим разумным двумерным существам, живущим во вселенной, которая представляет собой поверхность шара. Трехмерное
пространство, в котором находится этот шар, им так же трудно себе представить, как нам — четырехмерное пространство.
Что представляет собой геометрия искривленного двумерного пространства, в котором они живут? Аналогом прямых линий служат дуги больших кругов, так как именно они реализуют кратчайшее расстояние на поверхности шара между двумя ее точками: вообразим себе нить, натянутую между двумя точками на глобусе. Из таких «прямых» можно строить треугольники. Легко убедиться в том, что сумма углов в таких треугольниках всегда больше л. Проще всего это увидеть для треугольника, одна из сторон которого представляет собой часть экватора (АВ на рис. 12), а две другие стороны — части меридианов.
Могут ли наши воображаемые существа установить отличие геометрии своего двумерного мира от евклидовой, не «выходя» за его пределы, т. е. в трехмерное пространство? Ответ очевиден: конечно, могут, для этого им достаточно выполнить тщательное измерение углов какого-либо треугольника и убедиться, что сумма этих углов не равна л;.
Рис. 12. В сферическом тре-угольнике N АВ сумма углов превышает л
§ 6. СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ
25
В геометрии искривленного двумерного мира сумма двух последовательных перемещений зависит от порядка слагаемых. Например, на глобусе из некоторой точки экватора пройдем расстояние, равное одной пятой части меридиана, сначала на север, а затем на восток. Если же сначала пройти такое расстояние на восток, а потом повернуть на север, то в итоге мы попадем в совершенно другую точку глобуса.
