Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
v, — lim —, (1)
д<-»о
которая характеризует быстроту изменения криволинейной координаты /. При увеличении I, когда Д/ > 0, vt положительна; при уменьшении /, когда Д/ < 0, vt отрицательна. Легко видеть, что модуль i>[ совпадает с мгновенной скоростью прохождения пути, определяемой формулой (2) § 7. На графике движения возрастанию I соответствует положительный наклон кривой, убыванию I — отрицательный наклон. Конечно, никакой информации о форме самой траектории этот график уже не содержит.
При равномерном движении, т. е. движении с постоянной по модулю скоростью, график изображается прямой линией (участок ОА на рис. 32). Легко видеть, что тангенс угла наклона а этого участка графика к оси времени численно равен скорости движения. Участок АВ соответствует равномерному
Рис. 32. Участок О А соответствует равномерному движению в одном направлении, участок АВ — равномерному движению в обратном направлении
§ 9. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
43
движению в обратном направлении: расстояние I от начальной точки О убывает со временем. Скорость vt — Al/At на этом участке отрицательна, так как Д/ < 0. Наклон графика на этом участке отрицательный, а значение скорости vt по-прежнему равно тангенсу отрицательного угла наклона р.
При изучении движения по заданной траектории будем в дальнейшем обозначать скорость vt через v. При описании движения наряду с графиком, изображающим зависимость расстояния I от времени t, удобно рассматривать также и график скорости. Для равномерного движения график зависимости скорости от времени представляет собой горизонтальную прямую (рис. 33). Путь As, проходимый за промежуток времени At = t2 — t{, на этом рисунке изображается площадью прямоугольника, ограниченного осью t,
Рис. 33. График скорости равномерно- Рис. 34. График равномерного движения
го движения
двумя вертикальными отрезками, проходящими через точки и t2, и графиком скорости v(t). Такая геометрическая интерпретация соответствует формуле
As = v At.
Применяя эту формулу к промежутку времени от t = 0 до некоторого момента t, можно написать выражение для координаты / в любой момент времени t при движении с постоянной скоростью v:
1(0 = /0 + vt. (2)
Здесь /0 — значение координаты / при t = 0, т. е. /0 = /(0). График движения, описываемого формулой (2), показан на рис. 34.
Путь на графике скорости. Рассмотрим теперь движение, график скорости которого показан на рис. 35а. На промежутке времени от 0 до t{ движение происходит с постоянной скоростью v{. В момент
l — тело останавливается и начинает двигаться с постоянной скоростью v2 в противоположном направлении. Очевидно, что v2 < 0. Путь, пройденный за промежуток времени от 0 до t{, изображается пло-
44
I. КИНЕМАТИКА
щадью верхнего прямоугольника и равен v{t{. Если движение начинается из точки / = О, как показано на рис. 356, то расстояние I в любой момент времени t t{ совпадает с пройденным к этому моменту
путем и дается выражением
l(t) = vlt (ttzti).
Путь, пройденный за промежуток времени от t{ до t2, изображается площадью нижнего прямоугольника и равен —v2(t2 — ti), так как v2 < 0. Поскольку после момента времени t = t{ тело движется в обратном направлении, то расстояние I от начальной точки теперь убывает и уже не совпадает с пройденным к этому моменту путем. Расстояние I при t > t{ дается выражением
1(1) = vltl + v2(t ?[) (t\< t < t2),
где второе слагаемое в правой части отрицательно. Для определения пути, пройденного к моменту времени t>t{, в этой формуле нужно изменить знак перед вторым слагаемым. Как видно из рис. 356, в момент времени t2 тело возвращается в исходную точку 1 = 0, а пройденный им к этому моменту путь равен 2vltl.
• Посмотрите на график движения, показанный на рис. 36. Охарактеризуйте движение тела в каждый из указанных промежутков времени.
• Что означают изломы на графике /(/)? Что означают разрывы на графике v(t)? Могут ли быть изломы на графике v(t)7 Что они означают? Могут ли быть разрывы на графике /(/)?
• После того как вы ответили на второй вопрос, можете ли вы что-нибудь добавить к своему ответу на первый вопрос? Если да, то сформулируйте четко, что было упущено вами при первом ответе.
Рис. 35. На графике скорости расстояние изображается заштрихованной площадью
§ 9. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
45
д Степени свободы. Реальное физическое пространство трехмерно, поэтому для характеристики положения материальной точки нужны три числа. Такими тремя числами могут быть, например, проекции радиуса-вектора частицы на оси декартовой системы координат. Но в рассмотренных выше случаях векторные характеристики движения никак не использовались. Наоборот, утверждалось, что для указания положения частицы достаточно одного числа, и соответствующее движение называлось одномерным. Чем обусловлена такая возможность? Тем, что траектория движения фиксирована — она не меняется при изменении таких характеристик движения, как скорость, ускорение и т. д.
