Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
При подстановке в эту формулу значений v2 и t2 необходимо согласовать единицы, т. е. либо выразить скорость v2 в метрах в секунду, либо время 12 — в часах.
3. Вверх и вниз. Подброшенное вертикально вверх тело пролетает через расположенную на высоте h точку А дважды с интервалом времени т. С какой скоростью тело упадет на землю? Сколько времени оно находилось в полете?
Решение. Высота Л, на которой находится тело в момент времени t, выражается формулой (5). Поскольку начальная скорость v0 направлена вертикально вверх, а ускорение g — вертикально вниз, то для нашего случая формула (5) принимает вид
Подчеркнем, что это соотношение описывает весь полет брошенного вверх тела — как подъем, так и спуск. Это квадратное уравнение относительно момента времени t, в который тело находится на высоте h. Решая его, находим
По условию задачи тело побывало на высоте h дважды, поэтому корни tx и ^должны быть вещественными. Это значит, что дискриминант положителен:
откуда Dq > Igh. При меньшей начальной скорости тело вообще не достигло бы высоты h. Из (8) видно, что один из корней меньше величины Vfjg, равной времени подъема тела до максимальной высоты Н = v^!{2g). Он соответствует прохождению тела через точку А при подъеме. Второй корень, как легко видеть, больше, чем vQlg, но в силу (9) меньше полного времени полета,
-у- + ”i (h ~ t) = v2t2.
Отсюда
s — v2t2 -= 100 м.
(8)
§ 10. НЕРАВНОМЕРНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
55
равного 2vjg, Очевидно, что заданный в условии задачи промежуток времени г равен разности корней (8):
Отсюда для начальной скорости v0 тела имеем
С такой же по модулю скоростью тело упадет на землю. Для полного времени полета 2vjg отсюда получаем значение V8hlg 4- т2.
Эту задачу можно решить проще, не прибегая к уравнению движения (5), если воспользоваться тем, что время подъема на максимальную высоту и время падения с нее до прежнего уровня одинаковы. Очевидно, что тело поднималось от высоты Л до максимальной в течение т/2 и столько же времени падало обратно. Поэтому, достигнув высоты h при спуске, оно имело там скорость t>j = gx/2. Применяя к дальнейшему падению с высоты Л до поверхности земли формулу (6), можем написать выражение для скорости v в момент падения:
В предельном случае т-»0 эта формула переходит в известное выражение v2 = 2gh для скорости падения с высоты Л.
Д Формулы равноускоренного движения. Как и раньше, ускорение ah определяемое формулой (1), можно выразить, используя понятие производной:
Как отмечалось выше, при любой зависимости скорости от времени расстояние I от начальной точки изображается площадью между графиком скорости и осью времени (см. рис. 41). В математике такая площадь под графиком функции v(t) дается определенным интегралом:
В тех случаях, когда на всем интервале от 0 до г скорость v > 0 (т. е. движение происходит все время в одном направлении), этот интеграл получается положительным (/ > 0). Если же направление движения изменялось, то промежуток времени, на котором v < 0 (т. е. движение происходит в обратную сторону), дает отрицательный вклад в значение интеграла (11). Для нахождения пути, пройденного телом за все время движения от 0 до t, достаточно заменить в формуле (11) v(t) под интегралом на | v(t) |.
v2 = v\ 4- 2gh = 2gh 4-
/= $ v(i) dt.
(И)
о
56
I. КИНЕМАТИКА
При движении с постоянной скоростью v = const интеграл дает площадь прямоугольника / = vt. В случае равноускоренного движения, когда v = v0 + at, интеграл дает площадь трапеции:
что совпадает с формулой (5а).
Аналогично формуле (11) может быть записано выражение для мгновенной скорости при неравномерном движении с произвольным ускорением a(t). Это можно увидеть из аналогии между формулами Дг; = a At и Л/ = v At. Поэтому приращение скорости v — v0 за промежуток времени от 0 до t записывается в виде
Геометрически это приращение скорости изображается площадью под графиком зависимости ускорения от времени a(t). В частном случае движения с постоянным ускорением а = const формула
(12) дает
что совпадает с формулой (3).
Задача
4. Путь как площадь под графиком скорости. График зависимости скорости тела от времени имеет вид трети окружности (рис. 44), причем максимальное значение скорости равно v. Найдите пройденный путь s,
Из соображений размерности очевидно, что ответ должен иметь вид s = kvt, где к — некоторый безразмерный (числовой) коэффициент. Поэтому в формуле (13) нужно выразить в R2 одно R через v, а другое — через t. Из рис. 44 видно, что R можно выразить либо через
